二阶齐次线性微分方程求解公式 二阶线性齐次微分方程通解求法
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\u4e8c\u9636\u5e38\u7cfb\u6570\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u4e3a\uff1ay"+py\u2019+qy=0 \uff0c\u5176\u4e2dp\uff0cq\u4e3a\u5e38\u6570\u3002\u4ee5r^k\u4ee3\u66ff\u4e0a\u5f0f\u4e2d\u7684y\uff08k\uff09(k=0,1,2) \uff0c\u5f97\u4e00\u4ee3\u6570\u65b9\u7a0b\uff1ar²+pr+q=0\uff0c\u8fd9\u65b9\u7a0b\u79f0\u4e3a\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u7279\u5f81\u65b9\u7a0b\uff0c\u6309\u7279\u5f81\u6839\u7684\u60c5\u51b5\uff0c\u53ef\u76f4\u63a5\u5199\u51fa\u65b9\u7a0b\u7684\u901a\u89e3\u3002
\u4e8c\u9636\u7ebf\u6027\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u89e3\u65b9\u5f0f\u5206\u4e3a\u4e24\u7c7b\uff0c\u4e00\u662f\u4e8c\u9636\u7ebf\u6027\u9f50\u6b21\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\uff0c\u4e8c\u662f\u7ebf\u6027\u975e\u9f50\u6b21\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u3002\u524d\u8005\u4e3b\u8981\u662f\u91c7\u7528\u7279\u5f81\u65b9\u7a0b\u6c42\u89e3\uff0c\u540e\u8005\u5728\u5bf9\u5e94\u7684\u9f50\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u901a\u89e3\u4e0a\u52a0\u4e0a\u7279\u89e3\u5373\u4e3a\u975e\u9f50\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u901a\u89e3\u3002
\u4e8c\u9636\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u901a\u89e3\u516c\u5f0f\u6709\u4ee5\u4e0b\uff1a
\u7b2c\u4e00\u79cd\uff1a\u7531y2-y1=cos2x-sin2x\u662f\u5bf9\u5e94\u9f50\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u53ef\u63a8\u51facos2x\u3001sin2x\u5747\u4e3a\u9f50\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\uff0c\u6545\u53ef\u5f97\u65b9\u7a0b\u7684\u901a\u89e3\u662f\uff1ay=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x\u3002
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\u7b2c\u4e09\u79cd\uff1a\u5148\u6c42\u5bf9\u5e94\u7684\u9f50\u6b21\u65b9\u7a0b2y''+y'-y=0\u7684\u901a\u89e3\u3002
\u4e00\u3001\u89e3\uff1a
\u6c42\u7279\u5f81\u65b9\u7a0br^2+P(x)r+Q(x)=0\uff0c\u89e3\u51fa\u4e24\u4e2a\u7279\u5f81\u6839r1,r2 \u82e5r1\u2260r2\u4e14r1,r2\u4e3a\u5b9e\u6570\uff0c
\u5219y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x) \u82e5r1=r2\u4e14r1,r2\u3002
\u4e8c\u3001r\u662f\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u7279\u5f81\u503c\uff0c\u5b83\u662f\u901a\u8fc7\u65b9\u7a0br^2-2r+5=0\u6765\u6c42\u51fa\u7684\u3002
\u5c06\u5176\u770b\u6210\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u5224\u522b\u5f0f=4-20=-16<0,\u8bf4\u660e\u65b9\u7a0b\u6ca1\u6709\u5b9e\u6570\u6839\uff0c\u4f46\u5728\u590d\u6570\u8303\u56f4\u5185\u6709\u6839\uff0c\u6839\u4e3a\uff1a r1=1+2i r2=1-2i\uff1b
\u5728\u590d\u6570\u9886\u57df\u4e2d\uff0cz1=a+bi \u548cz2=a-bi, \u53ca\u4e24\u4e2a\u590d\u6570\u7684\u5b9e\u6570\u90e8\u5206\u76f8\u7b49\uff0c\u865a\u6570\u90e8\u5206\u4e92\u4e3a\u76f8\u53cd\u6570\u7684\u590d\u6570\u79f0\u4e3a\u5171\u8f6d\u590d\u6570\uff1b\u6240\u4ee5\u672c\u9898\u7684\u4e24\u4e2a\u7279\u5f81\u503c\u7b26\u5408\u8fd9\u4e00\u5173\u7cfb\uff0c\u6545\u8c13\u5171\u8f6d\u590d\u6839\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5bf9\u4e8e\u4e8c\u9636\u7ebf\u6027\u9012\u63a8\u6570\u5217\uff0c\u53ef\u91c7\u7528\u7279\u5f81\u65b9\u7a0b\u6cd5\uff1a
\u5bf9\u4e8e\u6570\u5217
\uff0c\u9012\u63a8\u516c\u5f0f\u4e3a
\u5176\u7279\u5f81\u65b9\u7a0b\u4e3a
1\u3001 \u82e5\u65b9\u7a0b\u6709\u4e24\u76f8\u5f02\u6839p\u3001q \uff0c\u5219
2\u3001 \u82e5\u65b9\u7a0b\u6709\u4e24\u7b49\u6839p \uff0c\u5219
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u7279\u5f81\u65b9\u7a0b
较常用的几个：
1、Ay''+By'+Cy=e^mx
特解 y=C(x)e^mx
2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx
特解 y=msinx+nsinx
3、Ay''+By'+Cy= mx+n
特解 y=ax
二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
扩展资料
F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。
升阶法：
设y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两边同时对x求导n次，得
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……
y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!
y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!
令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方程的一个特解y(x)。
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