请问ln（1+x）的等价无穷小是x，x趋近于0。那ln（1-x）是趋近于-x么？谢谢 学习高等数学有什么用处？
\u600e\u6837\u5f88\u597d\u7684\u5b66\u4e60\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\uff1f\u5927\u5b66\u7684\u5b66\u4e60\u751f\u6d3b\u662f\u6211\u4eec\u6bcf\u4e2a\u4eba\u90fd\u5411\u5f80\u7684\uff0c\u53ef\u662f\u6b8a\u4e0d\u77e5\u5927\u5b66\u7684\u5b66\u4e60\u5185\u5bb9\u5e76\u4e0d\u6bd4\u6211\u4eec\u9ad8\u4e2d\u6240\u5b66\u77e5\u8bc6\u7b80\u5355\u591a\u5c11\uff0c\u5c31\u597d\u6bd4\u5927\u5b66\u7684\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\uff0c\u662f\u4e00\u95e8\u8ba9\u5f88\u591a\u540c\u5b66\u90fd\u5934\u75bc\u7684\u5b66\u79d1\uff0c\u6df1\u5965\u7684\u77e5\u8bc6\u548c\u590d\u6742\u7684\u516c\u5f0f\u8ba9\u5f88\u591a\u540c\u5b66\u5728\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u9762\u524d\u90fd\u7f34\u68b0\u6295\u964d\u3002\u5176\u5b9e\u6211\u4eec\u5927\u53ef\u4e0d\u5fc5\u62c5\u5fc3\uff0c\u6211\u4eec\u8981\u660e\u767d\u4e00\u4e9b\u95ee\u9898\u638c\u63e1\u4e00\u4e9b\u6280\u5de7\u6765\u8ba9\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u53d8\u5f97\u4e0d\u518d\u662f\u4e2a\u96be\u9898\u3002
\u9996\u5148\u5c31\u662f\u6211\u4eec\u8981\u660e\u767d\u4e00\u70b9\uff0c\u5230\u4e86\u5927\u5b66\u4ee5\u540e\uff0c\u6211\u4eec\u90fd\u5230\u4e86\u4e00\u4e2a\u7edf\u4e00\u7684\u8d77\u70b9\uff0c\u6240\u4ee5\u6211\u4eec\u8981\u629b\u5f00\u4ee5\u524d\u7684\u89c2\u5ff5\uff0c\u5c31\u7b97\u662f\u4ee5\u524d\u6211\u4eec\u5bf9\u6570\u5b66\u4e0d\u611f\u5174\u8da3\uff0c\u6216\u8005\u6211\u4eec\u4ee5\u524d\u7684\u6570\u5b66\u6210\u7ee9\u5f88\u5dee\uff0c\u6211\u4eec\u4e5f\u4e0d\u5e94\u8be5\u653e\u5f03\u81ea\u5df1\uff0c\u5728\u65b0\u5b66\u671f\u91cc\u4e00\u5b9a\u8981\u4e0b\u5b9a\u51b3\u5fc3\u653b\u514b\u8fd9\u4e2a\u96be\u9898\uff0c\u6bcf\u5802\u8bfe\u90fd\u8ba4\u771f\u542c\u8bb2\uff0c\u4ed8\u51fa\u7684\u52aa\u529b\u80af\u5b9a\u662f\u6709\u56de\u62a5\u7684\u3002
\u5176\u6b21\u5c31\u662f\u6211\u4eec\u4e00\u5b9a\u8981\u5b66\u4f1a\u5408\u4f5c\u5b66\u4e60\u3002\u5927\u5b66\u91cc\u6709\u5f88\u591a\u6bd4\u6211\u4eec\u4f18\u79c0\u7684\u4eba\uff0c\u6211\u4eec\u4e00\u5b9a\u8981\u5229\u7528\u597d\u8fd9\u4e2a\u8d44\u6e90\uff0c\u5982\u679c\u6709\u4ec0\u4e48\u4e0d\u61c2\u7684\u6216\u8005\u662f\u4ee5\u524d\u6709\u9057\u6f0f\u7684\u77e5\u8bc6\uff0c\u6211\u4eec\u90fd\u53ef\u4ee5\u9ebb\u70e6\u540c\u5b66\u6765\u7ed9\u6211\u4eec\u8fdb\u884c\u8865\u4e60\uff0c\u591a\u7528\u70b9\u65f6\u95f4\u548c\u7cbe\u529b\uff0c\u603b\u4f1a\u770b\u5230\u6210\u679c\u7684\u3002
\u6700\u91cd\u8981\u7684\u4e00\u70b9\u5c31\u662f\u6211\u4eec\u4e00\u5b9a\u8981\u6709\u4fe1\u5fc3\uff0c\u4e0d\u80fd\u56e0\u4e3a\u4ee5\u524d\u77e5\u8bc6\u7684\u4e0d\u624e\u5b9e\u5c31\u653e\u5f03\u81ea\u5df1\uff0c\u514b\u670d\u81ea\u5df1\u7684\u6050\u60e7\u5fc3\u7406\uff0c\u53ea\u8981\u662f\u81ea\u5df1\u4e0b\u4e86\u8db3\u591f\u7684\u8f9b\u82e6\uff0c\u5c31\u7b97\u662f\u6700\u540e\u7684\u7ed3\u679c\u4e0d\u5c3d\u4eba\u610f\u6211\u4eec\u4e5f\u80fd\u591f\u7ed9\u81ea\u5df1\u4e00\u4e2a\u5408\u7406\u7684\u7b54\u5377\uff0c\u505a\u5230\u81ea\u5df1\u95ee\u5fc3\u65e0\u6127\u3002
\u5b66\u4e60\u9ad8\u6570\u7684\u4f5c\u7528\uff1a
1\u3001\u53ef\u4ee5\u57f9\u517b\u601d\u7ef4\u80fd\u529b
2\u3001\u53ef\u4ee5\u5e94\u7528\u5230\u5176\u4ed6\u5b66\u79d1\u7684\u5b66\u4e60
3\u3001\u4e13\u5347\u672c\u6216\u8003\u7814\u90fd\u9700\u8981\u8003\u6570\u5b66
4\u3001\u53ef\u4ee5\u63d0\u9ad8\u601d\u7ef4\u8fa9\u8bc1\u80fd\u529b\uff0c\u63d0\u9ad8\u72ec\u7acb\u601d\u8003\u80fd\u529b\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u5305\u62ec\uff1a
\u6570\u5b66\u5206\u6790\uff1a\u4e3b\u8981\u5305\u62ec\u5fae\u79ef\u5206\u548c\u7ea7\u6570\u7406\u8bba\u3002\u5fae\u79ef\u5206\u662f\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u7684\u57fa\u7840\uff0c\u5e94\u7528\u8303\u56f4\u975e\u5e38\u5e7f\uff0c\u57fa\u672c\u4e0a\u6d89\u53ca\u5230\u51fd\u6570\u7684\u9886\u57df\u90fd\u9700\u8981\u5fae\u79ef\u5206\u7684\u77e5\u8bc6\u3002\u7ea7\u6570\u4e2d\uff0c\u5085\u7acb\u53f6\u7ea7\u6570\u548c\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u4e3b\u8981\u5e94\u7528\u5728\u4fe1\u53f7\u5206\u6790\u9886\u57df\uff0c\u5305\u62ec\u6ee4\u6ce2\u3001\u6570\u636e\u538b\u7f29\u3001\u7535\u529b\u7cfb\u7edf\u7684\u76d1\u63a7\u7b49\uff0c\u7535\u5b50\u4ea7\u54c1\u7684\u5236\u9020\u79bb\u4e0d\u5f00\u5b83\u3002
\u5b9e\u53d8\u51fd\u6570\uff08\u5b9e\u5206\u6790\uff09\uff1a\u6570\u5b66\u5206\u6790\u7684\u52a0\u5f3a\u7248\u4e4b\u4e00\u3002\u4e3b\u8981\u5e94\u7528\u4e8e\u7ecf\u6d4e\u5b66\u7b49\u6ce8\u91cd\u6570\u636e\u5206\u6790\u7684\u9886\u57df\u3002
\u590d\u53d8\u51fd\u6570\uff08\u590d\u5206\u6790\uff09\uff1a\u6570\u5b66\u5206\u6790\u52a0\u5f3a\u7248\u4e4b\u4e8c\u3002\u5e94\u7528\u5f88\u5e7f\u7684\u4e00\u95e8\u5b66\u79d1\uff0c\u5728\u822a\u7a7a\u529b\u5b66\u3001\u6d41\u4f53\u529b\u5b66\u3001\u56fa\u4f53\u529b\u5b66\u3001\u4fe1\u606f\u5de5\u7a0b\u3001\u7535\u6c14\u5de5\u7a0b\u7b49\u9886\u57df\u90fd\u6709\u5e7f\u6cdb\u7684\u5e94\u7528\uff0c\u6240\u4ee5\u5de5\u79d1\u5b66\u751f\u90fd\u8981\u5b66\u8fd9\u95e8\u8bfe\u7684\u3002
是的，可以考虑换元法，详情如图所示
绛旓細鎵浠ヨ璇佹槑ln(1+x)涓巟涓虹瓑浠锋棤绌峰皬閲忥紝灏辨槸瑕佽瘉 褰搙瓒嬭繎浜0鏃讹紙鏋侀檺涓0鐨勫彉閲忕О涓烘棤绌峰皬閲忥級lim[ln(1+x)/x]=1 x->0 lim[ln(1+x)/x] 涓0/0鍨 婊¤冻缃楀繀濉旀硶鍒欎娇鐢ㄦ潯浠 瀵瑰垎瀛愬垎姣嶆眰瀵 lim[ln(1+x)/x]x->0 =lim[1/(1+x)]x->0 =1 寰楄瘉銆
绛旓細lnx鐨勭瓑浠锋棤绌峰皬鏄1 鍏蜂綋鍥炵瓟濡備笅锛氬綋x->0鏃讹紝ln(1+x)~x lim(x->0) ln(1+x)/x =lim(x->0) ln[(1+x)^(1/x)]鏍规嵁涓や釜閲嶈鏋侀檺涔嬩竴锛宭im(x->0) (1+x)^(1/x)=e锛屽緱锛=lne =1 姹傛瀬闄愭椂锛屼娇鐢ㄧ瓑浠锋棤绌峰皬鐨勬潯浠 锛1銆佽浠ｆ崲鐨勯噺锛屽湪鍙栨瀬闄愮殑鏃跺欐瀬闄愬间负0锛2銆佽浠ｆ崲鐨...
绛旓細鍒╃敤绗簩涓噸瑕佹瀬闄愯瘉鏄庛
绛旓細lim[x->0锛ln(1+x)/sinx]杩欐椂ln(1+x)鏄痻鐨勭瓑浠锋棤绌峰皬锛宻inx鏄痻鐨勭瓑浠锋棤绌峰皬锛屾墍浠ラ兘鍙互鎹㈣繃鏉ャ俵im[x->0锛宭n(1+x)/sinx]=lim[x->0锛寈/x]=1 渚嬪锛歺鈫0锛宭n(1+x)~baix~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~(e^x)-1锛涙晠ln(1-x)~(-x)~sin(-x)~tan(-x)~arcsin(-x)~arctan...
绛旓細ln绛変环鏃犵┓灏忔浛鎹㈡槸-/2銆傛妸ln鐢ㄩ害鍏嬪姵鏋楀叕寮忓睍寮锛歭n=x-/2+/3-鎵浠n-x=-/2+/3-鎵浠ュ畠鐨勭瓑浠锋棤绌峰皬=-/2銆傜瓑浠锋棤绌峰皬鏄幇浠ｈ瘝锛屾槸涓涓笓鏈夊悕璇嶏紝鎸囩殑鏄暟瀛︽湳璇紝鏄ぇ瀛﹂珮绛夋暟瀛﹀井绉垎浣跨敤鏈澶氱殑绛変环鏇挎崲銆傛棤绌峰皬灏辨槸浠ユ暟闆朵负鏋侀檺鐨勫彉閲忋傜‘鍒囧湴璇达紝褰撹嚜鍙橀噺x鏃犻檺鎺ヨ繎鏌愪釜鍊紉0鏃讹紝鍑芥暟鍊糵...
绛旓細鏄殑锛屽彲浠ヨ冭檻鎹㈠厓娉曪紝璇︽儏濡傚浘鎵绀
绛旓細绛変环鏃犵┓灏鍏紡锛歺~sinx~tanx~arcsinx~arctanx锛泋~ln(1+x)~(e^x-1)锛(1-cosx)~x*x/2锛沎(1+x)^n-1]~nx锛沴oga(1+x)~x/lna锛沘鐨剎娆℃柟~xlna锛(1+x)鐨1/n娆℃柟~1/nx(n涓烘鏁存暟锛夈傜瓑浠锋棤绌峰皬浣跨敤杩囩▼涓渶瑕佹敞鎰忎竴浜涗簨椤癸細涓鑸笉鍦ㄥ姞鍑忔硶涓娇鐢ㄧ瓑浠锋棤绌峰皬锛岃鎯冲湪鍔犲噺娉曚腑浣跨敤鏄...
绛旓細涓嶈兘璇磋秼浜-x锛屽彧鑳借x瓒嬩簬0鏃讹紝ln锛1-x锛涓-x鏄绛変环鏃犵┓灏锛岃繖閲岃В棰樼殑鏃跺欙紝鐢ㄦ崲鍏冩硶锛屽埆鍥剧渷浜嬶紝浠=-x锛岀劧鍚庡啀鐢ㄧ瓑浠锋棤绌峰皬鏇挎崲瑙ｉ銆傜瓑浠锋棤绌峰皬鏉ユ簮浜庢嘲鍕掑叕寮忥紝澶氬幓浜嗚В涓涓嬫嘲鍕掑叕寮忛偅涓鑺傘
绛旓細浣犵殑琛ㄨ堪鏄纭殑銆備互涓婏紝璇烽噰绾炽
绛旓細褰$x$鐨勫彇鍊艰冻澶熷皬锛屼笖闇瑕侀珮绮惧害璁＄畻鏃讹紝鍙互浣跨敤绛変环鏃犵┓灏浠ｆ浛$\ln(1+x)$锛屽嵆灏$\ln(1+x)$鏇挎崲涓$x$锛屽洜涓哄綋$x$瓒嬭繎浜0鏃讹紝$\ln(1+x)$涓$x$鐨勫樊鍒浉瀵硅緝灏忋傞渶瑕佹敞鎰忕殑鏄紝鍦ㄤ娇鐢ㄧ瓑浠锋棤绌峰皬杩戜技鏃讹紝闇瑕佸$x$鐨勮寖鍥磋繘琛岄檺鍒讹紝涓鑸彇$x$鐨勫彇鍊艰寖鍥村湪$[-0.5,0.5]$宸﹀彸銆傚湪...
