y=f(x)的导函数怎么推导出来的?
推导步骤如下:
y=f(x)
要求d^2x/dy^2
dx/dy=1/(dy/dx)=1/y'
d^2x/dy^2=d(dx/dy)/dx*dx/dy
=-y''/y'^2*1/y'
=-y''/y'^3。
反函数的导函数:
如果函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f '(y)不等于零,则它的反函数y=f-1(x)在区间 内也可导,且 或
用自然语言来说就是,反函数的导数,等于直接函数导数的倒数。这话有点绕,不过应该能读懂,这个似乎就进一步揭示了反函数符号的意义。
在这里要说明的是,y=f(x)的反函数应该是x=f-1(y)。只不过在通常的情况下,我们将x写作y,y写作x,以符合习惯。所以,虽然反函数和直接函数不互为倒数,但是各自导函数求出后,二者却是互为倒数。
绛旓細鎺ㄥ姝ラ濡備笅锛y=f(x)瑕佹眰d^2x/dy^2 dx/dy=1/(dy/dx)=1/y'd^2x/dy^2=d(dx/dy)/dx*dx/dy =-y''/y'^2*1/y'=-y''/y'^3銆傚弽鍑芥暟鐨勫鍑芥暟锛氬鏋鍑芥暟x=f(y)鍦ㄥ尯闂碔y鍐呭崟璋冦佸彲瀵间笖f '(y)涓嶇瓑浜庨浂锛屽垯瀹冪殑鍙鍑芥暟y=f-1(x)鍦ㄥ尯闂 鍐呬篃鍙锛屼笖 鎴 鐢ㄨ嚜鐒惰瑷鏉ヨ...
绛旓細1. 瀹氫箟娉曪細鏍规嵁瀵兼暟鐨勫畾涔夛紝鍙互姹鍑哄嚱鏁扮殑瀵兼暟銆傚叿浣撴潵璇达紝瀵逛簬涓涓鍑芥暟y=f(x)锛屽鏋渓im(螖x->0)螖y/螖x瀛樺湪锛屽垯绉拌鍊间负鍑芥暟鍦ㄧ偣x0澶勭殑瀵兼暟锛岃涓篺'(x0)銆2. 鍏紡娉曪細鍙互鍒╃敤宸茬煡鐨勬眰瀵鍏紡鏉ユ眰鍑哄嚱鏁扮殑瀵兼暟銆3. 姹傚鐨勬剰涔夛細姹傚鏄井绉垎涓殑涓椤瑰熀鏈繍绠楋紝瀹冨弽鏄犱簡鍑芥暟鍦ㄦ煇涓鐐瑰...
绛旓細濡傛灉鍑芥暟f(x)鍦(a,b)涓瘡涓鐐瑰閮藉彲瀵硷紝鍒欑Оf(x)鍦(a,b)涓婂彲瀵硷紝鍒欏彲寤虹珛f(x)鐨勫鍑芥暟锛岀畝绉板鏁帮紝璁颁负f'(x)銆傚鏋渇(x)鍦(a,b)鍐呭彲瀵硷紝涓斿湪鍖洪棿绔偣a澶勭殑鍙冲鏁板拰绔偣b澶勭殑宸﹀鏁伴兘瀛樺湪锛屽垯绉癴(x)鍦ㄩ棴鍖洪棿[a,b]涓婂彲瀵硷紝f'(x)涓哄尯闂碵a,b]涓婄殑瀵煎嚱鏁帮紝绠绉板鏁般傝嫢灏嗕竴鐐...
绛旓細瑙e嚭锛歠 ' (x)= -f(x)/[x+e^(f(x))]鍗 y ' = -y/(x+e^y)...鈶 杩欒鏄庯細鍦.鈶犱腑鎶奻(x),鎹㈡垚 y 锛屽氨鏄妸y 鐪嬫垚 x 鐨勫嚱鏁鏉 姹傚锛涙湁 e^y * y'+ y+ xy'=0
绛旓細涔熷彨瀵煎嚱鏁鍊笺傚張鍚嶅井鍟嗭紝鏄井绉垎涓殑閲嶈鍩虹姒傚康銆傚綋鍑芥暟y=f锛坸锛夌殑鑷彉閲弜鍦ㄤ竴鐐箈0涓婁骇鐢熶竴涓閲徫攛鏃讹紝鍑芥暟杈撳嚭鍊肩殑澧為噺螖y涓庤嚜鍙橀噺澧為噺螖x鐨勬瘮鍊煎湪螖x瓒嬩簬0鏃剁殑鏋侀檺a濡傛灉瀛樺湪锛宎鍗充负鍦▁0澶鐨勫鏁锛岃浣渇鈥欙紙x0锛夋垨df锛坸0锛/dx銆傚鏁版槸鍑芥暟鐨勫眬閮ㄦц川銆備竴涓嚱鏁板湪鏌愪竴鐐圭殑瀵兼暟鎻忚堪浜...
绛旓細鏂规硶鈶細鍒╃敤涓闃跺井鍒嗗舰寮忎笉鍙樼殑鎬ц川鍒嗗埆瀵箈鍜y姹傚锛屽啀閫氳繃绉婚」姹傚緱鐨勫笺傛柟娉曗懀锛氭妸n鍏冮殣鍑芥暟鐪嬩綔(n+1)鍏冨嚱鏁帮紝閫氳繃澶氬厓鍑芥暟鐨勫亸瀵兼暟鐨勫晢姹傚緱n鍏冮殣鍑芥暟鐨勫鏁般備妇涓緥瀛愶紝鑻ユ姹倆 = f(x,y)鐨勫鏁锛岄偅涔堝彲浠ュ皢鍘熼殣鍑芥暟閫氳繃绉婚」鍖栦负f(x,y,z) = 0鐨勫舰寮忥紝鐒跺悗閫氳繃锛堝紡涓璅'y,F'x鍒嗗埆...
绛旓細y = f(x), dy = f'(x)dx (1) dy = [e^x/(1+e^x)]dx (2) dy = [1/(x+1)-1/x^2-1/x^(3/2)]dx (3) dy = [(2x-1)e^(2x)/x^2]dx (4) dy = [1/(x^2+1)^(3/2)]dx
绛旓細浠锛坸锛夛紳t锛寈锛漟-1锛坱锛塠x鏄痶鐨勫弽鍑芥暟]锛屽師寮忓彉涓篺锛坱锛夛紳f-1锛坱锛夛紝濡傛灉璇ユ柟绋嬫湁瑙o紝鍑芥暟涓庡畠鍙嶅嚱鏁板叧浜y锛t瀵圭О锛屾墍浠ヤ氦鐐瑰繀鍦▂锛漷涓婏紝鎵浠ュ繀瀹氭湁f锛坱锛夛紳t锛屽嵆f锛坸锛夛紳x銆鍑芥暟f锛坸锛鏄箻绉舰寮忋佸晢鐨勫舰寮忋佹牴寮忋佸箓鐨勫舰寮忋佹寚鏁板舰寮忔垨骞傛寚鍑芥暟褰㈠紡鐨勬儏鍐碉紝姹傚鏃舵瘮杈冮傜敤瀵规暟...
绛旓細瀵煎嚱鏁 濡傛灉鍑芥暟y=f(x)鍦ㄥ紑鍖洪棿鍐呮瘡涓鐐归兘鍙锛屽氨绉鍑芥暟f(x)鍦ㄥ尯闂村唴鍙銆傝繖鏃跺嚱鏁皔=f(x)瀵逛簬鍖洪棿鍐呯殑姣忎竴涓‘瀹氱殑x鍊硷紝閮藉搴旂潃涓涓‘瀹氱殑瀵兼暟鍊硷紝杩欏氨鏋勬垚涓涓柊鐨勫嚱鏁帮紝绉拌繖涓嚱鏁颁负鍘熸潵鍑芥暟y=f(x)鐨勫鍑芥暟锛岃浣測'銆乫'(x)銆乨y/dx鎴杁f(x)/dx锛岀畝绉板鏁般傚鏁版槸寰Н鍒嗙殑涓涓...
绛旓細绠鍗曞垎鏋愪竴涓嬶紝绛旀濡傚浘鎵绀