如何用圆规和一把没刻度的尺子，画出一个正十七边形 如何用圆规和一把没刻度的尺子，画出一个正十七边形？
\u5982\u4f55\u7528\u4e00\u652f\u5706\u89c4\u548c\u4e00\u628a\u6ca1\u6709\u523b\u5ea6\u7684\u5c3a\u5b50,\u753b\u51fa\u4e00\u4e2a\u6b6317\u8fb9\u5f62?\u5c06\u4f60\u8981\u753b\u7684\u6b6317\u8fb9\u5f62\u7684\u8fb9\u957f\u4e3ad\uff0c\u5b83\u7684\u5916\u63a5\u5706\u7684\u534a\u5f84\u4e3aR\u3002
\u5219d\u548cR\u7684\u5173\u7cfb\u662fSin(360\u5ea6/(17*2))=d/(2R)
\u6b6317\u8fb9\u5f62\u7684\u8fb9\u5bf9\u5e94\u7684\u5706\u5fc3\u89d2\u5ea6\u6570\u4e3a360/17,\u6b6317\u8fb9\u5f62\u7684\u4e00\u6761\u8fb9\u548c\u5176\u4e24\u4e2a\u7aef\u70b9\u4e0e\u5706\u5fc3\u8fde\u63a5\u7684\u534a\u5f84\u6210\u4e3a\u4e00\u4e2a\u7b49\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\uff1b
\u7136\u540e\u4ece\u5706\u5fc3\u4f5c\u51fa\u4e00\u6761\u5782\u7ebf\u5230\u8fb9\u4e0a\uff0c\u5c31\u80fd\u5f97\u51fa\u4e00\u4e2a\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u5706\u5fc3\u7684\u90a3\u4e2a\u89d2\u662f\u5706\u5fc3\u89d2\u7684\u4e00\u534a\uff0c\u5373360\u5ea6/(17*2)\uff0c\u5bf9\u8fb9\u662fd/2,\u659c\u8fb9\u662fR\uff0c\u6240\u4ee5\u5f97\u51faSin(360\u5ea6/(17*2))=d/(2R)
\u6700\u540e\uff0c\u6839\u636e\u8be5\u516c\u5f0f\uff0c\u5982\u679c\u4f60\u60f3\u753b\u51fa\u4e00\u4e2a\u8fb9\u957f\u4e3a1\u5398\u7c73\u7684\u6b6317\u8fb9\u5f62\uff0c\u5219\u628ad=1\u4ee3\u5165\u516c\u5f0f\uff0c\u5f97\u51faR\u7684\u503c\u3002
1\u3001\u5148\u753b\u4e00\u4e2aR\u534a\u5f84\u7684\u5706\uff1b
2\u3001\u7528\u5706\u89c4\u652f\u811a\u652f\u5728\u5706\u5468\u7684\u4e00\u4e2a\u70b9\u4e0a\uff0c\u53d6d\u4e3a\u534a\u5f84\uff0c\u4ea4\u5706\u5468\u4e8e\u4e00\u70b9\uff0c\u7136\u540e\u628a\u8fd9\u4e24\u70b9\u8fde\u8d77\u6765\uff0c\u5c31\u662f17\u8fb9\u5f62\u7684\u4e00\u6761\u8fb9\u4e86\uff1b
3\u3001\u5982\u6b64\u7c7b\u63a8\uff0c\u628a17\u6761\u8fb9\u753b\u5b8c\u5c31\u662f\u4e00\u4e2a\u6b6317\u8fb9\u5f62\u4e86
\u795d\u798f\u4f60
1796\u5e74\u7684\u4e00\u5929\uff0c\u5fb7\u56fd\u54e5\u5ef7\u6839\u5927\u5b66\uff0c\u4e00\u4e2a\u5f88\u6709\u6570\u5b66\u5929\u8d4b\u768419\u5c81\u9752\u5e74\u5403\u5b8c\u665a\u996d\uff0c\u5f00\u59cb\u505a\u5bfc\u5e08\u5355\u72ec\u5e03\u7f6e\u7ed9\u4ed6\u7684\u6bcf\u5929\u4f8b\u884c\u7684\u4e09\u9053\u6570\u5b66\u9898\u3002
\u524d\u4e24\u9053\u9898\u5728\u4e24\u4e2a\u5c0f\u65f6\u5185\u5c31\u987a\u5229\u5b8c\u6210\u4e86\u3002\u7b2c\u4e09\u9053\u9898\u5199\u5728\u53e6\u4e00\u5f20\u5c0f\u7eb8\u6761\u4e0a\uff1a\u8981\u6c42\u53ea\u7528\u8d3a\u89c4\u548c\u4e00\u628a\u6ca1\u6709\u523b\u5ea6\u7684\u76f4\u5c3a\uff0c\u753b\u51fa\u4e00\u4e2a\u6b6317\u8fb9\u5f62\u3002
\u4ed6\u611f\u5230\u975e\u5e38\u5403\u529b\u3002\u65f6\u95f4\u4e00\u5206\u4e00\u79d2\u7684\u8fc7\u53bb\u4e86\uff0c\u7b2c\u4e09\u9053\u9898\u7adf\u6beb\u65e0\u8fdb\u5c55\u3002\u8fd9\u4f4d\u9752\u5e74\u7ede\u5c3d\u8111\u6c41\uff0c\u4f46\u4ed6\u53d1\u73b0\uff0c\u81ea\u5df1\u5b66\u8fc7\u7684\u6240\u6709\u6570\u5b66\u77e5\u8bc6\u4f3c\u4e4e\u5bf9\u89e3\u5f00\u8fd9\u9053\u9898\u90fd\u6ca1\u6709\u4efb\u4f55\u5e2e\u52a9\u3002
\u56f0\u96be\u53cd\u800c\u6fc0\u8d77\u4e86\u4ed6\u7684\u6597\u5fd7\uff1a\u6211\u4e00\u5b9a\u8981\u628a\u5b83\u505a\u51fa\u6765\uff01\u4ed6\u62ff\u8d77\u5706\u89c4\u548c\u76f4\u5c3a\uff0c\u4ed6\u4e00\u8fb9\u601d\u7d22\u4e00\u8fb9\u5728\u7eb8\u4e0a\u753b\u7740\uff0c\u5c1d\u8bd5\u7740\u7528\u4e00\u4e9b\u8d85\u5e38\u89c4\u7684\u601d\u8def\u53bb\u5bfb\u6c42\u7b54\u6848\u3002
\u5f53\u7a97\u53e3\u9732\u51fa\u66d9\u5149\u65f6\uff0c\u9752\u5e74\u957f\u8212\u4e86\u4e00\u53e3\u6c14\uff0c\u4ed6\u7ec8\u4e8e\u5b8c\u6210\u4e86\u8fd9\u9053\u96be\u9898\u3002
\u89c1\u5230\u5bfc\u5e08\u65f6\uff0c\u9752\u5e74\u6709\u4e9b\u5185\u759a\u548c\u81ea\u8d23\u3002\u4ed6\u5bf9\u5bfc\u5e08\u8bf4\uff1a\u201c\u60a8\u7ed9\u6211\u5e03\u7f6e\u7684\u7b2c\u4e09\u9053\u9898\uff0c\u6211\u7adf\u7136\u505a\u4e86\u6574\u6574\u4e00\u4e2a\u901a\u5bb5\uff0c\u6211\u8f9c\u8d1f\u4e86\u60a8\u5bf9\u6211\u7684\u683d\u57f9\u2026\u2026\u201d
\u5bfc\u5e08\u63a5\u8fc7\u5b66\u751f\u7684\u4f5c\u4e1a\u4e00\u770b\uff0c\u5f53\u5373\u60ca\u5446\u4e86\u3002\u4ed6\u7528\u98a4\u6296\u7684\u58f0\u97f3\u5bf9\u9752\u5e74\u8bf4\uff1a\u201c\u8fd9\u662f\u4f60\u81ea\u5df1\u505a\u51fa\u6765\u7684\u5417\uff1f\u201d\u9752\u5e74\u6709\u4e9b\u7591\u60d1\u5730\u770b\u7740\u5bfc\u5e08\uff0c\u56de\u7b54\u9053\uff1a\u201c\u662f\u6211\u505a\u7684\u3002\u4f46\u662f\uff0c\u6211\u82b1\u4e86\u6574\u6574\u4e00\u4e2a\u901a\u5bb5\u3002\u201d
\u5bfc\u5e08\u8bf7\u4ed6\u5750\u4e0b\uff0c\u53d6\u51fa\u5706\u89c4\u548c\u76f4\u5c3a\uff0c\u5728\u4e66\u684c\u4e0a\u94fa\u5f00\u7eb8\uff0c\u8ba9\u4ed6\u5f53\u7740\u81ea\u5df1\u7684\u9762\u518d\u505a\u51fa\u4e00\u4e2a\u6b6317\u8fb9\u5f62\u3002
\u9752\u5e74\u5f88\u5feb\u505a\u51fa\u4e86\u4e00\u4e0a\u6b6317\u8fb9\u5f62\u3002\u5bfc\u5e08\u6fc0\u52a8\u5730\u5bf9\u4ed6\u8bf4\uff1a\u201c\u4f60\u77e5\u4e0d\u77e5\u9053\uff1f\u4f60\u89e3\u5f00\u4e86\u4e00\u6869\u6709\u4e24\u5343\u591a\u5e74\u5386\u53f2\u7684\u6570\u5b66\u60ac\u6848\uff01\u963f\u57fa\u7c73\u5fb7\u6ca1\u6709\u89e3\u51b3\uff0c\u725b\u987f\u4e5f\u6ca1\u6709\u89e3\u51b3\uff0c\u4f60\u7adf\u7136\u4e00\u4e2a\u665a\u4e0a\u5c31\u89e3\u51fa\u6765\u4e86\u3002\u4f60\u662f\u4e00\u4e2a\u771f\u6b63\u7684\u5929\u624d\uff01\u201d
\u539f\u6765\uff0c\u5bfc\u5e08\u4e5f\u4e00\u76f4\u60f3\u89e3\u5f00\u8fd9\u9053\u96be\u9898\u3002\u90a3\u5929\uff0c\u4ed6\u662f\u56e0\u4e3a\u5931\u8bef\uff0c\u624d\u5c06\u5199\u6709\u8fd9\u9053\u9898\u76ee\u7684\u7eb8\u6761\u4ea4\u7ed9\u4e86\u5b66\u751f\u3002
\u6bcf\u5f53\u8fd9\u4f4d\u9752\u5e74\u56de\u5fc6\u8d77\u8fd9\u4e00\u5e55\u65f6\uff0c\u603b\u662f\u8bf4\uff1a\u201c\u5982\u679c\u6709\u4eba\u544a\u8bc9\u6211\uff0c\u8fd9\u662f\u4e00\u9053\u6709\u4e24\u5343\u591a\u5e74\u5386\u53f2\u7684\u6570\u5b66\u96be\u9898\uff0c\u6211\u53ef\u80fd\u6c38\u8fdc\u4e5f\u6ca1\u6709\u4fe1\u5fc3\u5c06\u5b83\u89e3\u51fa\u6765\u3002\u201d
\u8fd9\u4f4d\u9752\u5e74\u5c31\u662f\u6570\u5b66\u738b\u5b50\u9ad8\u65af\u3002
\u9ad8\u65af\u7528\u4ee3\u6570\u7684\u65b9\u6cd5\u89e3\u51b3\u7684\uff0c\u4ed6\u4e5f\u89c6\u6b64\u4e3a\u751f\u5e73\u5f97\u610f\u4e4b\u4f5c\uff0c\u8fd8\u4ea4\u5f85\u8981\u628a\u6b63\u5341\u4e03\u8fb9\u5f62\u523b\u5728\u4ed6\u7684\u5893\u7891\u4e0a\uff0c\u4f46\u540e\u6765\u4ed6\u7684\u5893\u7891\u4e0a\u5e76\u6ca1\u6709\u523b\u4e0a\u5341\u4e03\u8fb9\u5f62\uff0c\u800c\u662f\u5341\u4e03\u89d2\u661f\uff0c\u56e0\u4e3a\u8d1f\u8d23\u523b\u7891\u7684\u96d5\u523b\u5bb6\u8ba4\u4e3a\uff0c\u6b63\u5341\u4e03\u8fb9\u5f62\u548c\u5706\u592a\u50cf\u4e86\uff0c\u5927\u5bb6\u4e00\u5b9a\u5206\u8fa8\u4e0d\u51fa\u6765\u3002
\u5173\u4e8e\u6b63\u5341\u4e03\u8fb9\u5f62\u7684\u753b\u6cd5\uff08\u9ad8\u65af\u7684\u601d\u8def\uff0c\u672c\u4eba\u5e76\u975e\u6709\u610f\u527d\u7a83^_^\uff09\uff1a
\u6709\u4e00\u4e2a\u5b9a\u7406\u5728\u8fd9\u91cc\u8981\u7528\u5230\u7684\uff1a
\u82e5\u957f\u4e3a|a|,|b|\u7684\u7ebf\u6bb5\u53ef\u4ee5\u7528\u51e0\u4f55\u65b9\u6cd5\u505a\u51fa\u6765\uff0c\u90a3\u4e48\u957f\u4e3a|c|\u7684\u7ebf\u6bb5\u4e5f\u80fd\u7528\u51e0\u4f55\u65b9\u6cd5\u505a\u51fa\u7684\uff0c
\u5176\u4e2dc\u662f\u65b9\u7a0bx^2+ax+b=0\u7684\u5b9e\u6839\u3002
\u4e0a\u9762\u7684\u5b9a\u7406\u5b9e\u9645\u4e0a\u5c31\u662f\u5728\u6709\u7ebf\u6bb5\u957f\u5ea6|a|\u548c|b|\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u505a\u51fa\u957f\u4e3asqrt(a^2-4b)\u7684\u7ebf\u6bb5\u3002
\uff08\u8fd9\u4e00\u6b65\uff0c\u5927\u5bb6\u4f1a\u753b\u5427\uff1f\uff09
\u800c\u8981\u5728\u4e00\u4e2a\u5355\u4f4d\u5706\u4e2d\u505a\u51fa\u6b63\u5341\u4e03\u8fb9\u5f62\uff0c\u4e3b\u8981\u5c31\u662f\u505a\u51fa\u957f\u5ea6\u662fcos(2pai/17)\u7684\u7ebf\u6bb5\u3002
\u4e0b\u9762\u6211\u628a\u5f53\u5e74\u9ad8\u65af\u8bc1\u660e\u53ef\u4ee5\u505a\u51facos(2pai/17)\u7684\u8bc1\u660e\u7ed9\u51fa\uff0c\u540c\u65f6\u4e5f\u5c31\u7ed9\u51fa\u4e86\u5177\u4f53\u7684\u505a\u6cd5\u3002
\u8bbea=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
\u5219\u6709a+a1=-1,a*a1=-4,\u5373a,a1\u662f\u65b9\u7a0bx^2+x-4=0\u7684\u6839\uff0c\u6240\u4ee5\u957f\u4e3a|a|\u548c|a1|\u7684\u7ebf\u6bb5\u53ef\u4ee5\u505a\u51fa\u3002
\u4ee4b=2[cos(2pai/17)+cos(8pai/17)]>0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]<0
c=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)]>0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
\u5219\u6709b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1
\u540c\u6837\u9053\u7406\uff0c\u957f\u5ea6\u662f|b|,|b1|,|c|,|c1|\u7684\u7ebf\u6bb5\u90fd\u53ef\u4ee5\u505a\u51fa\u6765\u7684\u3002
\u518d\u67092cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)\uff1db [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c
\u8fd9\u6837\uff0c2cos(2pai/17\uff09\u662f\u65b9\u7a0bx^2-bx+c=0\u8f83\u5927\u7684\u5b9e\u6839,
\u663e\u7136\u4e5f\u53ef\u4ee5\u505a\u51fa\u6765\uff0c\u5e76\u4e14\u4f5c\u56fe\u7684\u65b9\u6cd5\u4e0a\u9762\u5df2\u7ecf\u7ed9\u51fa\u6765\u4e86
具体步骤如下：
1、在与圆O的直径AB垂直的半径OC上，作出OC的中点D，在OB上作一点E，使OE等于半径的1/8；
2、以E为圆心，ED长为半径作弧，与OA、OB分别交于F、G；
3、以F为圆心，FD长为半径作弧，交OA延长线于H，以G为圆心，GD长为半径作弧，交OA于I；
4、作OB中点J，以线段IJ为直径作圆，交OC于K；
5、过K作AB的平行线，与以线段OH为直径的圆交于远端L，过L作OC的平行线，与圆O交于M，弧AM就是圆O的1/17；
6、最后，依次连结各点就可得到正十七边形。
扩展资料
正十七边形的起源：
最早的十七边形画法创造人是高斯。1801年数学家高斯证明：如果费马数k为质数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。但是，高斯本人并没有用尺规做出正十七边形，事实上，完成证明之后正十七边形的做法对数学研究者是显而易见的。
第一个真正的正十七边形尺规作图法是在1825年由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）给出 。
高斯（1777─1855年）德国数学家、物理学家和天文学家。高斯在童年时代就表现出非凡的数学天才。年仅三岁，就学会了算术，八岁因运用等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件。
解决了两千年来悬而未决的难题，1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获博士学位。高斯的数学成就遍及各个领域，在数学许多方面的贡献都有着划时代的意义。并在天文学，大地测量学和磁学的研究中都有杰出的贡献。
参考资料：百度百科-正十七边形
用圆规和一把没刻度的尺子画正十七边形：
1、给一圆O，作两垂直的半径OA、OB。
2、在OB上作C点使OC=1/4OB。
3、在OA上作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度。
4、作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆。
5、过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
6、过G4作OA垂直线交圆O于P4，
7、过G6作OA垂直线交圆O于P6，
8、以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。
9、以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
1796年的一天,德国哥廷根大学,一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭,开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题.
前两道题在两个小时内就顺利完成了.第三道题写在另一张小纸条上：要求只用贺规和一把没有刻度的直尺,画出一个正17边形.
他感到非常吃力.时间一分一秒的过去了,第三道题竟毫无进展.这位青年绞尽脑汁,但他发现,自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助.
困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺,他一边思索一边在纸上画着,尝试着用一些超常规的思路去寻求答案.
当窗口露出曙光时,青年长舒了一口气,他终于完成了这道难题.
见到导师时,青年有些内疚和自责.他对导师说：“您给我布置的第三道题,我竟然做了整整一个通宵,我辜负了您对我的栽培……”
导师接过学生的作业一看,当即惊呆了.他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗?”青年有些疑惑地看着导师,回答道：“是我做的.但是,我花了整整一个通宵.”
导师请他坐下,取出圆规和直尺,在书桌上铺开纸,让他当着自己的面再做出一个正17边形.
青年很快做出了一上正17边形.导师激动地对他说：“你知不知道?你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案!阿基米德没有解决,牛顿也没有解决,你竟然一个晚上就解出来了.你是一个真正的天才!”
原来,导师也一直想解开这道难题.那天,他是因为失误,才将写有这道题目的纸条交给了学生.
每当这位青年回忆起这一幕时,总是说：“如果有人告诉我,这是一道有两千多年历史的数学难题,我可能永远也没有信心将它解出来.”
这位青年就是数学王子高斯.
高斯用代数的方法解决的,他也视此为生平得意之作,还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上,但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形,而是十七角星,因为负责刻碑的雕刻家认为,正十七边形和圆太像了,大家一定分辨不出来.
关于正十七边形的画法（高斯的思路,本人并非有意剽窃^_^）：
有一个定理在这里要用到的：
若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来,那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的,
其中c是方程x^2+ax+b=0的实根.
上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候,做出长为sqrt(a^2-4b)的线段.
（这一步,大家会画吧?）
而要在一个单位圆中做出正十七边形,主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段.
下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出,同时也就给出了具体的做法.
设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]
用圆规和一把没刻度的尺子画正十七边形：
1、给一圆O，作两垂直的半径OA、OB。
2、在OB上作C点使OC=1/4OB。
3、在OA上作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度。
4、作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆。
5、过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
6、过G4作OA垂直线交圆O于P4，
7、过G6作OA垂直线交圆O于P6，
8、以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。
9、以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
用圆规和一把没刻度的尺子画正十七边形：
1、给一圆O，作两垂直的半径OA、OB。
2、在OB上作C点使OC=1/4OB。
3、在OA上作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度。
4、作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆。
5、过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
6、过G4作OA垂直线交圆O于P4，
7、过G6作OA垂直线交圆O于P6，
8、以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。
9、以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
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