关于傅氏变换、拉氏变换和z变换（复习版）
揭示傅里叶、拉普拉斯与z变换的神秘联系
一、变换间的桥梁
从连续到离散，傅里叶与拉普拉斯的关系犹如桥梁。拉普拉斯变换，作为广义傅里叶变换的扩展，是信号经过实信号调制后的傅里叶变换精华。当信号在时域中为实函数，拉普拉斯变换即等同于傅里叶变换，尤其当频率域为实数时。而z变换，正是拉普拉斯变换对理想抽样信号的特殊应用，它揭示了连续与离散信号在z平面和s平面间的对应关系。
二、经典变换对
- 傅里叶变换对: 例如，阶跃函数的傅里叶变换，定义为1/(1-jω)，对于正弦函数，其变换为sin(ωt)在ω=0的拉普拉斯形式。
- 拉普拉斯变换对: 比如，斜坡信号的拉普拉斯变换为1/(s-1)，单位冲激信号在s域的表达式为1/s，正弦函数则收敛于1/(s^2+ω^2)。
- z变换对: 重要的是理解收敛域，如单位冲激序列的z变换为1/(1-z^-1)，随z的不同，其展开形式各异。
三、变换性质与系统特性
拉普拉斯与傅里叶变换拥有相似的性质，如尺度变换与频移，但拉普拉斯的初值与终值定理独具特色。z变换则涉及离散序列的特性，如左移和右移的处理方法。判断系统因果性和稳定性，如极点位置：在s平面左半平面的系统稳定，而在单位圆内的极点表示z变换系统的因果性。
四、滤波特性解读
滤波器特性通过系统函数零极点分布体现。例如，实轴上的零点表示低通，复数极点意味着带通。记住这个口诀：分子决定通频，分子与分母次数相同为高通，中间次数则为带通。通过零极点图和波特图，可以对滤波器进行直观判断。
- 低通滤波器：零点在实轴，如1/(1+ω^2)，对应于简单的零极点分布，如下图所示。
- 带通滤波器：极零点为复数，如1/(1-ω^2)，其波特图显示了带通特性。
总结与延伸阅读
深入理解傅里叶、拉普拉斯和z变换，不仅有助于信号处理的理解，还能应用于实际问题的分析。继续探索，了解更多关于变换的技巧和应用，如知乎文章（链接已被移除）和CSDN博客（链接已被移除），它们能为你提供更丰富的视角和实践案例。
绛旓細鍌閲屽彾鍙樻崲瀵: 渚嬪锛岄樁璺冨嚱鏁扮殑鍌呴噷鍙鍙樻崲锛瀹氫箟涓1/(1-j蠅)锛屽浜庢寮﹀嚱鏁帮紝鍏跺彉鎹负sin(蠅t)鍦ㄏ=0鐨勬媺鏅媺鏂舰寮忋鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲瀵: 姣斿锛屾枩鍧′俊鍙风殑鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲涓1/(s-1)锛屽崟浣嶅啿婵淇″彿鍦╯鍩熺殑琛ㄨ揪寮忎负1/s锛屾寮﹀嚱鏁板垯鏀舵暃浜1/(s^2+蠅^2)銆z鍙樻崲瀵: 閲嶈鐨勬槸鐞嗚В鏀舵暃鍩燂紝濡傚崟浣嶅啿婵...
绛旓細鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲鏄鍌绔嬪彾鍙樻崲鐨勬帹骞匡紝鍌呯珛鍙跺彉鎹笉閫傜敤浜庢寚鏁扮骇澧為暱鐨勫嚱鏁帮紝鑰鎷夋皬鍙樻崲鐩稿綋浜庢槸甯︽湁涓涓寚鏁版敹鏁涘洜瀛愮殑鍌呯珛鍙鍙樻崲锛鎶婇鍩熸帹骞垮埌澶嶉鍩燂紝鑳藉垎鏋愮殑淇″彿鏇村箍銆傜劧鑰岀己鐐规槸浠庢媺鏅媺鏂彉鎹㈢殑寮忓瓙涓紝鍙兘鐪嬪埌鍙橀噺s锛屾病鏈夐鐜噁鐨勬蹇点傚鏋滆鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲涓撻棬鍒嗘瀽妯℃嫙淇″彿锛岄偅Z鍙樻崲灏辨槸涓撻棬鍒嗘瀽鏁板瓧淇...
绛旓細鍌閲屽彾鍙樻崲銆佹媺鏅媺鏂彉鎹Z 鍙樻崲鐨鑱旂郴锛氶鍏堬紝鎴戜滑鎯宠薄鍑轰竴涓骞抽潰锛氶偅涔堟媺鏅媺鏂彉鎹㈠湪澶嶅钩闈㈢殑涓婇潰锛岄偅涔堝鏋滄垜浠皢s鍙栬櫄杞撮偅鐜板湪杩欎釜鍙樻崲灏辨槸鍌呴噷鍙鍙樻崲锛涔熷氨鏄锛屽倕閲屽彾鍙樻崲鏄媺鏅媺鏂彉鎹㈢殑涓涓壒渚嬶紝鏄竴涓壒娈婂舰寮忋傞偅涔堢浉瀵硅岃█锛屾媺鏅媺鏂彉鎹灏辨槸鍌呴噷鍙跺彉鎹㈢殑涓涓帹骞裤傚鏋滄垜浠妸澶嶅钩闈笂...
绛旓細鍌寮忓彉鎹㈢殑鐩殑鏄眰瑙ｆ椂鍩熶俊鍙风殑棰戝煙缁勬垚鎴愬垎銆傛媺寮忓彉鎹㈠叾鐩殑鏄负浜嗗揩閫熸眰瑙ｅ父绯绘暟寰垎鏂圭▼銆傜鏁ｅ倕绔嬪彾鍙樻崲涓哄倕绔嬪彾鍙樻崲鐨勭壒娈婂舰寮忥紝灏辨槸瑕佸垎鏋愮殑鏃跺煙淇″彿鏄鏁ｇ殑銆z鍙樻崲灏辨槸瀵圭鏁ｇ郴缁熺殑鏁板妯″瀷鈥斺斿樊鍒嗘柟绋嬭浆鍖栦负绠鍗曠殑浠ｆ暟鏂圭▼锛屼娇姹傝В绠鍗曞寲銆 鍓嶄袱涓拡瀵硅繛缁殑锛屽悗涓や釜閽堝绂绘暎鐨勩傚倕寮忔槸鏃堕...
绛旓細鍌呴噷鍙鍙樻崲鏄湪棰戝煙鍒嗘瀽锛鎷夋皬鏄杩炵画淇″彿鐨凷鍩熷垎鏋愶紝Z鍙樻崲鏄绂绘暎淇″彿鐨勫彉鎹㈠煙鍒嗘瀽锛鍌呮皬鏄悗涓よ呯殑鍩虹锛屽悗涓よ呬綔鐢ㄦ潯浠舵瘮鍌呮皬瀹芥澗锛屽彲浠ョ敤浜庝笉鏀舵暃鐨勪俊鍙峰垎鏋
绛旓細鍦ㄥ鍒颁竴涓煡璇嗙偣鑷冲皯瑕佸洖绛斾笁涓ぇ闂鈥斺 What鏄粈涔堬紵Why涓轰粈涔堬紵How鎬庝箞鏍凤紵WH1锛氫笁澶у彉鎹㈡槸浠涔堬紵 鍌呮皬鍙樻崲銆鎷夋皬鍙樻崲銆Z姘忓彉鎹紱 WH2锛氫笁澶у彉鎹㈢殑瀹氫箟鏄粈涔堬紵鏃㈢劧浜嬬墿瀛樺湪蹇呮湁瀹冪殑閬撶悊锛岄偅鎴戝氨鎯崇煡閬擄紝涓轰粈涔堣杩欎簺鍙樻崲锛熻繖浜涘彉鎹㈡湁浠涔堝ソ澶勪箞锛 WHY1锛氫负浠涔堜細鏈変笁澶у彉鎹紵 鎯崇煡...
绛旓細鎷夋皬鍙樻崲鍜屽倕姘忓彉鎹閮芥槸棰戝煙鐨锛孼鍙樻崲鏄拡瀵圭鏁ｄ俊鍙风殑锛岃繖灏辨槸鎴戠殑鐞嗚В
绛旓細鎷夋皬鍙樻崲灏辨槸鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲锛岄鍏堬紝鍌閲屽彾鍙樻崲銆佹媺鏅媺鏂彉鎹亃鍙樻崲閮芥槸绉垎鍙樻崲锛屾媺鏅媺鏂彉鎹笌z鍙樻崲涓ょ鍙樻崲閮芥槸鍙嗙殑 锛屽垎涓烘鍙樺寲鍜岄嗗彉鎹傚倕閲屽彾鍙樻崲瀵瑰簲涓涓椂闂磋繛缁彲绉殑淇″彿锛屽倕閲屽彾鍙樻崲鏄媺鏅媺鏂彉鎹㈢殑鐗逛緥锛寊鍙樻崲鏈川涓婃槸鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲鐨勭鏁ｅ舰寮忥紝瀵硅繛缁俊鍙疯繘琛屾娊鏍峰彉鎹㈠氨寰楀埌浜嗗師鍑芥暟鐨勭鏁...
绛旓細绯伙紝鐜板湪鐮旂┒z鍙樻崲涓庢媺鏅媺鏂彉鎹鐨勫叧绯汇備竴锛巣骞抽潰涓巗骞抽潰鐨勬槧灏勫叧绯诲钩闈笌s浜岋紟z鍙樻崲涓庢媺姘忓彉鎹琛ㄨ揪寮忎箣瀵瑰簲杩斿洖涓锛巣骞抽潰涓巗骞抽潰鐨勬槧灏勫叧绯诲钩闈笌s鍦ㄥ紩鍏z鍙樻崲鐨瀹氫箟鏃讹紝寮曞叆绗﹀彿z=e鍦ㄥ紩鍏鍙樻崲鐨勫畾涔夋椂锛屽紩鍏ョ鍙穤=esTs(鐩磋鍧愭爣):s=蟽+j蠅鐩磋鍧愭爣):z,s鍏崇郴j蠅0j蠅s=蟽+j蠅z=esT浠ｅ叆z(...
绛旓細鎷夋櫘鎷夋柉閫嗗彉鎹㈡槸宸茬煡F(s) 姹傝В f(t) 鐨勮繃绋嬨傜敤绗﹀彿 琛ㄧず銆傛媺鏅媺鏂鍙樻崲Z鍙樻崲鐨鍏紡鏄細瀵逛簬鎵鏈夌殑t>0锛宖(t)= mathcal ^ left =frac int_ ^ F(s)' e'ds锛宑' 鏄敹鏁涘尯闂寸殑妯潗鏍囧硷紝鏄竴涓疄甯告暟涓斿ぇ浜庢墍鏈塅(s)' 鐨勪釜鍒偣鐨勫疄閮ㄥ笺
