什么是平均值不等式 什么是均值不等式

\u4ec0\u4e48\u662f\u5747\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff1f

\u5747\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53c8\u79f0\u4e3a\u5e73\u5747\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u3001\u5e73\u5747\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff0c\u662f\u6570\u5b66\u4e2d\u7684\u4e00\u4e2a\u91cd\u8981\u516c\u5f0f\u3002\u516c\u5f0f\u5185\u5bb9\u4e3aHn\u2264Gn\u2264An\u2264Qn\uff0c\u5373\u8c03\u548c\u5e73\u5747\u6570\u4e0d\u8d85\u8fc7\u51e0\u4f55\u5e73\u5747\u6570\uff0c\u51e0\u4f55\u5e73\u5747\u6570\u4e0d\u8d85\u8fc7\u7b97\u672f\u5e73\u5747\u6570\uff0c\u7b97\u672f\u5e73\u5747\u6570\u4e0d\u8d85\u8fc7\u5e73\u65b9\u5e73\u5747\u6570\u3002
\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u4e58\uff08\u6216\u9664\u4ee5\uff09\u540c\u4e00\u4e2a\u8d1f\u6570\uff0c\u4e0d\u7b49\u53f7\u7684\u65b9\u5411\u53d8\u3002\u5f53\u4e24\u4e2a\u6b63\u6570\u7684\u79ef\u4e3a\u5b9a\u503c\u65f6\uff0c\u5b83\u4eec\u7684\u548c\u6709\u6700\u5c0f\u503c\uff1b\u5f53\u4e24\u4e2a\u6b63\u6570\u7684\u548c\u4e3a\u5b9a\u503c\u65f6\uff0c\u5b83\u4eec\u7684\u79ef\u6709\u6700\u5927\u503c\u3002



\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u76f8\u52a0\u6216\u76f8\u51cf\u540c\u4e00\u4e2a\u6570\u6216\u5f0f\u5b50\uff0c\u4e0d\u7b49\u53f7\u7684\u65b9\u5411\u4e0d\u53d8\u3002\uff08\u79fb\u9879\u8981\u53d8\u53f7\uff09\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u76f8\u4e58\u6216\u76f8\u9664\u540c\u4e00\u4e2a\u6b63\u6570\uff0c\u4e0d\u7b49\u53f7\u7684\u65b9\u5411\u4e0d\u53d8\u3002\uff08\u76f8\u5f53\u7cfb\u6570\u53161\uff0c\u8fd9\u662f\u5f97\u6b63\u6570\u624d\u80fd\u4f7f\u7528\uff09
\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u4e58\u6216\u9664\u4ee5\u540c\u4e00\u4e2a\u8d1f\u6570\uff0c\u4e0d\u7b49\u53f7\u7684\u65b9\u5411\u6539\u53d8\u3002\uff08\u00f7\u6216\u00d71\u4e2a\u8d1f\u6570\u7684\u65f6\u5019\u8981\u53d8\u53f7\uff09
\u628a\u6bcf\u4e2a\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u89e3\u96c6\u5728\u6570\u8f74\u4e0a\u8868\u793a\u51fa\u6765\uff0c\u6570\u8f74\u4e0a\u7684\u70b9\u628a\u6570\u8f74\u5206\u6210\u82e5\u5e72\u6bb5\uff0c\u5982\u679c\u6570\u8f74\u7684\u67d0\u4e00\u6bb5\u4e0a\u9762\u8868\u793a\u89e3\u96c6\u7684\u7ebf\u7684\u6761\u6570\u4e0e\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u4e2a\u6570\u4e00\u6837\uff0c\u90a3\u4e48\u8fd9\u6bb5\u5c31\u662f\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7ec4\u7684\u89e3\u96c6\u3002\u6709\u51e0\u4e2a\u5c31\u8981\u51e0\u4e2a\u3002

1\u3001\u8c03\u548c\u5e73\u5747\u6570\uff1aHn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2\u3001\u51e0\u4f55\u5e73\u5747\u6570\uff1aGn=(a1a2...an)^(1/n)
3\u3001\u7b97\u672f\u5e73\u5747\u6570\uff1aAn=(a1+a2+...+an)/n
4\u3001\u5e73\u65b9\u5e73\u5747\u6570\uff1aQn=\u221a
(a1^2+a2^2+...+an^2)/n
\u8fd9\u56db\u79cd\u5e73\u5747\u6570\u6ee1\u8db3Hn\u2264Gn\u2264An\u2264Qn
\u7684\u5f0f\u5b50\u5373\u4e3a\u5747\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u3002
\u3000\u30001\u3001\u8c03\u548c\u5e73\u5747\u6570\uff1aHn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
\u3000\u30002\u3001\u51e0\u4f55\u5e73\u5747\u6570\uff1aGn=(a1a2...an)^(1/n)
\u3000\u30003\u3001\u7b97\u672f\u5e73\u5747\u6570\uff1aAn=(a1+a2+...+an)/n
\u3000\u30004\u3001\u5e73\u65b9\u5e73\u5747\u6570\uff1aQn=\u221a
[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
\u3000\u3000\u8fd9\u56db\u79cd\u5e73\u5747\u6570\u6ee1\u8db3Hn\u2264Gn\u2264An\u2264Qn
\u3000\u3000a1\u3001a2\u3001\u2026
\u3001an\u2208R
+\uff0c\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53a1=a2=
\u2026
=an\u65f6\u53d6\u201c=\u201d\u53f7
\u3000\u3000\u5747\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\uff1a\u8bbe\u51fd\u6570D(r)=[\uff08a1^r+a2^r+...an^r\uff09/n]^(1/r)(\u5f53r\u4e0d\u7b49\u4e8e0\u65f6);
\u3000\u3000(a1a2...an)^(1/n)(\u5f53r=0\u65f6\uff09\uff08\u5373D(0)=(a1a2...an)^(1/n)\uff09
\u3000\u3000\u5219\u6709\uff1a\u5f53r<s\u65f6\uff0cD(r)\u2264D(s)
\u3000\u3000\u6ce8\u610f\u5230Hn\u2264Gn\u2264An\u2264Qn\u4ec5\u662f\u4e0a\u8ff0\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u7279\u6b8a\u60c5\u5f62\uff0c\u5373D(-1)\u2264D(0)\u2264D(1)\u2264D(2)

均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式:公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。

、调和平均数:Hn=n/(1/a_1+1/a_2+⋯+1/a_n )

2、几何平均数:Gn=n√(a_1 a_2…a_n )

3、算术平均数:An=(a_1+a_2+⋯+a_n)/n

4、平方平均数:Qn=√((a_1^2+a_2^2+⋯+a_n^2)/n)

5、均值定理: 如果

属于正实数那么且仅当时 等号成立。

这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、… 、an∈R +,当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号

均值不等式的一般形式:设函数D(r)=[(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^(1/r)(当r不等于0时);

(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))

则 [1]当注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形,即D(-1)≤D(0)≤D⑴≤D⑵

由以上简化,有一个简单结论,中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]

均值定理的证明:因为 a 〉0 , b 〉0 所以 a+b/2 - √ab = a+b-2√ab/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0

即 a+b/2≥√ab. 当且仅当√a= √b ,等号成立。



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