请证明:sinx在x趋于无穷大的时候极限不存在?
只要说明在x趋于无穷大时,sinx可以趋近于不同的数即可。例如当x=nπ时,sinx≡0,所以趋于0,而当x=2nπ+(1/2)π时,sinx≡1。所以趋于1。
当x趋近于无穷时可能使得x=2kπ+π/2,当k取无穷大时,x也为无穷大。此时,f(x)=1。
当x趋近于无穷时可能使得x=2kπ,当k取无穷大时,x也为无穷大。此时,f(x)=0。
根据极限的唯一性,上述情况显然不唯一,所以极限不存在。
若x趋近于正无穷,这根号x也趋近于正无穷。
由sinX中,当X趋于无穷时,SINX无穷大,无极限值。
所以sin根号x中,当根号X趋于无穷大时,sin根号x无穷大,无极限值。
N的相应性
一般来说,N随ε的变小而变大,因此常把N写作N(ε),以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的:(比如若n>N使|xn-a|<ε成立,那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立)。重要的是N的存在性,而不在于其值的大小。
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