曲面的切平面方程题
1、设曲线上t=a对应的点p(a,a^2,a^3)处的切线平行于平面x+2y+z=4。dx/dt=1,dy/dt=2t,dz/dt=3t^2
曲线上点p处的切线的方向向量是(1,2a,3a^2),平面的法向量是(1,2,1),切线与平面平行,则(1,2a,3a^2)与(1,2,1)垂直,有(1,2a,3a^2)*(1,2,1)=1+4a+3a^2=0,得a=-1或-1/3,所以点p的坐标是(-1,1,-1)或(-1/3,1/9,-1/27)
所以,曲线上点(-1,1,-1)或(-1/3,1/9,-1/27)处的切线平行于平面x+2y+z=4
2、设曲面上点p(a,b,c)处的切平面平行于平面x+4y+6z=0,则切平面的法向量平行于(1,4,6)
设f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-21,αf/αx=2x,αf/αy=4y,αf/αz=6z,所以点p处切平面的法向量可以取作(a,2b,3c)
所以,(a,2b,3c)//(1,4,6),所以a=b/2=c/2
又点p在曲面上,所以a^2+2b^2+3c^2=21
由a=b/4=c/6,a^2+2b^2+3c^2=21得a=1,b=2,c=3或a=-1,b=-2,c=-3,所以点p是(1,2,3)或(-1,-2,-3),所以点p处的切平面的方程是x+4y+6z=±21
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