如何证明三角形面积和周长的公式 三角形的面积和周长公式
\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u548c\u5468\u957f\u516c\u5f0f\u662f\u600e\u6837\u7684\uff1f\u5468\u957f\u516c\u5f0f\uff1a\u82e5\u4e00\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u8fb9\u5206\u522b\u4e3aa\u3001b\u3001c\uff0c\u5219\u5468\u957fC=a+b+c\u3002
\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\uff1a
1.\u5df2\u77e5\u4e09\u89d2\u5f62\u5e95a\uff0c\u9ad8h\uff0c\u5219 S=ah/2\u3002
2.\u5df2\u77e5\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u8fb9a,b,c\uff0c\u5219\uff1a
\uff08\u6d77\u4f26\u516c\u5f0f\uff09\uff08p=(a+b+c)/2\uff09
S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=sqrt[(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
=1/4sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
3.\u5df2\u77e5\u4e09\u89d2\u5f62\u4e24\u8fb9a\uff0cb\uff0c\u8fd9\u4e24\u8fb9\u5939\u89d2C\uff0c\u5219S=1/2absinC\uff0c\u5373\u4e24\u5939\u8fb9\u4e4b\u79ef\u4e58\u5939\u89d2\u7684\u6b63\u5f26\u503c\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5206\u7c7b\uff1a
1\u3001\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff1a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u4e2a\u5185\u89d2\u4e2d\u6700\u5927\u89d2\u5c0f\u4e8e90\u5ea6\u3002
2\u3001\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff1a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u4e2a\u5185\u89d2\u4e2d\u6700\u5927\u89d2\u7b49\u4e8e90\u5ea6\u3002
3\u3001\u949d\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff1a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u4e2a\u5185\u89d2\u4e2d\u6700\u5927\u89d2\u5927\u4e8e90\u5ea6\uff0c\u5c0f\u4e8e180\u5ea6\u3002
\u5176\u4e2d\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u548c\u949d\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7edf\u79f0\u4e3a\u659c\u4e09\u89d2\u5f62\u3002
\u4e09\u89d2\u5f62\u6309\u8fb9\u5206
1\u3001\u4e0d\u7b49\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\uff1b\u4e0d\u7b49\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u6570\u5b66\u5b9a\u4e49\uff0c\u6307\u7684\u662f\u4e09\u6761\u8fb9\u90fd\u4e0d\u76f8\u7b49\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u53eb\u4e0d\u7b49\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\u3002
2\u3001\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\uff1b\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u6307\u4e24\u8fb9\u76f8\u7b49\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u76f8\u7b49\u7684\u4e24\u4e2a\u8fb9\u79f0\u4e3a\u8fd9\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u8170\u3002\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\uff0c\u76f8\u7b49\u7684\u4e24\u6761\u8fb9\u79f0\u4e3a\u8fd9\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u8170\uff0c\u53e6\u4e00\u8fb9\u53eb\u505a\u5e95\u8fb9\u3002\u4e24\u8170\u7684\u5939\u89d2\u53eb\u505a\u9876\u89d2\uff0c\u8170\u548c\u5e95\u8fb9\u7684\u5939\u89d2\u53eb\u505a\u5e95\u89d2\u3002
\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e24\u4e2a\u5e95\u89d2\u5ea6\u6570\u76f8\u7b49\uff08\u7b80\u5199\u6210\u201c\u7b49\u8fb9\u5bf9\u7b49\u89d2\u201d\uff09\u3002\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u9876\u89d2\u7684\u5e73\u5206\u7ebf\uff0c\u5e95\u8fb9\u4e0a\u7684\u4e2d\u7ebf\uff0c\u5e95\u8fb9\u4e0a\u7684\u9ad8\u91cd\u5408\uff08\u7b80\u5199\u6210\u201c\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u7ebf\u5408\u4e00\u6027\u8d28\u201d\uff09\u3002\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e24\u5e95\u89d2\u7684\u5e73\u5206\u7ebf\u76f8\u7b49\uff08\u4e24\u6761\u8170\u4e0a\u7684\u4e2d\u7ebf\u76f8\u7b49\uff0c\u4e24\u6761\u8170\u4e0a\u7684\u9ad8\u76f8\u7b49\uff09\u3002\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\u5e95\u8fb9\u4e0a\u7684\u5782\u76f4\u5e73\u5206\u7ebf\u5230\u4e24\u6761\u8170\u7684\u8ddd\u79bb\u76f8\u7b49\u3002
\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e00\u8170\u4e0a\u7684\u9ad8\u4e0e\u5e95\u8fb9\u7684\u5939\u89d2\u7b49\u4e8e\u9876\u89d2\u7684\u4e00\u534a\u3002\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\u5e95\u8fb9\u4e0a\u4efb\u610f\u4e00\u70b9\u5230\u4e24\u8170\u8ddd\u79bb\u4e4b\u548c\u7b49\u4e8e\u4e00\u8170\u4e0a\u7684\u9ad8\uff08\u9700\u7528\u7b49\u9762\u79ef\u6cd5\u8bc1\u660e\uff09\u3002\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\u662f\u8f74\u5bf9\u79f0\u56fe\u5f62\uff0c\uff08\u4e0d\u662f\u7b49\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u60c5\u51b5\u4e0b\uff09\u53ea\u6709\u4e00\u6761\u5bf9\u79f0\u8f74\uff0c\u9876\u89d2\u5e73\u5206\u7ebf\u6240\u5728\u7684\u76f4\u7ebf\u662f\u5b83\u7684\u5bf9\u79f0\u8f74\uff0c\u7b49\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\u6709\u4e09\u6761\u5bf9\u79f0\u8f74\u3002
3\u3001\u7b49\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\u3002\u7b49\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\uff08\u53c8\u79f0\u6b63\u4e09\u89d2\u5f62\uff09\uff0c\u4e3a\u4e09\u8fb9\u76f8\u7b49\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u5176\u4e09\u4e2a\u5185\u89d2\u76f8\u7b49\uff0c\u5747\u4e3a60\u00b0\uff0c\u5b83\u662f\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e00\u79cd\u3002\u7b49\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\u4e5f\u662f\u6700\u7a33\u5b9a\u7684\u7ed3\u6784\u3002\u7b49\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\u662f\u7279\u6b8a\u7684\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u6240\u4ee5\u7b49\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\u62e5\u6709\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e00\u5207\u6027\u8d28\u3002
\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef=\u5e95\u00d7\u9ad8\u00f72
\u4e09\u89d2\u5f62\u5468\u957f=\u4e09\u6761\u8fb9\u957f\u4e4b\u548c
\u4e09\u89d2\u5f62\u662f\u7531\u540c\u4e00\u5e73\u9762\u5185\u4e0d\u5728\u540c\u4e00\u76f4\u7ebf\u4e0a\u7684\u4e09\u6761\u7ebf\u6bb5\u2018\u9996\u5c3e\u2019\u987a\u6b21\u8fde\u63a5\u6240\u7ec4\u6210\u7684\u5c01\u95ed\u56fe\u5f62\uff0c\u5728\u6570\u5b66\u3001\u5efa\u7b51\u5b66\u6709\u5e94\u7528\u3002
\u7531\u4e09\u6761\u7ebf\u6bb5\u9996\u5c3e\u987a\u6b21\u76f8\u8fde\uff0c\u5f97\u5230\u7684\u5c01\u95ed\u51e0\u4f55\u56fe\u5f62\u53eb\u4f5c\u4e09\u89d2\u5f62\u3002\u4e09\u89d2\u5f62\u662f\u51e0\u4f55\u56fe\u6848\u7684\u57fa\u672c\u56fe\u5f62\u3002
\u5224\u5b9a\u6cd5\u4e00\uff1a
1\u3001\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff1a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u4e2a\u5185\u89d2\u90fd\u5c0f\u4e8e90\u5ea6\u3002
2\u3001\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff1a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u4e2a\u5185\u89d2\u4e2d\u4e00\u4e2a\u89d2\u7b49\u4e8e90\u5ea6\uff0c\u53ef\u8bb0\u4f5cRt\u25b3\u3002
3\u3001\u949d\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff1a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u4e2a\u5185\u89d2\u4e2d\u6709\u4e00\u4e2a\u89d2\u5927\u4e8e90\u5ea6\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7ed9\u51fa\u4e86\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\u8fb9\u548c\u89d2\u7684\u5173\u7cfb\uff0c\u53ef\u4ee5\u7528\u6765\u89e3\u4e09\u89d2\u5f62\u3002\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u662f\u6570\u5b66\u4e2d\u5c5e\u4e8e\u521d\u7b49\u51fd\u6570\u4e2d\u8d85\u8d8a\u51fd\u6570\u7684\u4e00\u7c7b\u3002
\u6027\u8d28\uff1a
1 \u3001\u5728\u5e73\u9762\u4e0a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5185\u89d2\u548c\u7b49\u4e8e180\u00b0\uff08\u5185\u89d2\u548c\u5b9a\u7406\uff09\u3002
2 \u3001\u5728\u5e73\u9762\u4e0a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u89d2\u548c\u7b49\u4e8e360\u00b0 (\u5916\u89d2\u548c\u5b9a\u7406)\u3002
3\u3001 \u5728\u5e73\u9762\u4e0a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u89d2\u7b49\u4e8e\u4e0e\u5176\u4e0d\u76f8\u90bb\u7684\u4e24\u4e2a\u5185\u89d2\u4e4b\u548c\u3002
\u63a8\u8bba\uff1a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e00\u4e2a\u5916\u89d2\u5927\u4e8e\u4efb\u4f55\u4e00\u4e2a\u548c\u5b83\u4e0d\u76f8\u90bb\u7684\u5185\u89d2\u3002
4\u3001 \u4e00\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u4e2a\u5185\u89d2\u4e2d\u6700\u5c11\u6709\u4e24\u4e2a\u9510\u89d2\u3002
5\u3001 \u5728\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\u81f3\u5c11\u6709\u4e00\u4e2a\u89d2\u5927\u4e8e\u7b49\u4e8e60\u5ea6\uff0c\u4e5f\u81f3\u5c11\u6709\u4e00\u4e2a\u89d2\u5c0f\u4e8e\u7b49\u4e8e60\u5ea6\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u4e09\u89d2\u5f62
SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4证明：设边c上的高为 h,则有
√(a^2－h^2)＋√(b^2－h^2)=c
√(a^2－h^2)=c－√(b^2－h^2)
两边平方，化简得：
2c√(b^2－h^2)=b^2+c^2-a^2
两边平方，化简得：
h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))
SΔABC=ch/2
=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2
仔细化简一下，得：
SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4
用三角函数证明
证明：
SΔABC=absinC/2
=ab√(1-(cosC)^2)/2————（1）
∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
∴代入（1）式，（仔细）化简得：
SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4
证明（1）：
在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] http://baike.baidu.com/view/1279.html?wtp=tt
三角形的面积是不是二分之一的底积高啊。
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