为什么向量组中向量个数大于维数的时候,向量组就一定线性相关呢?
个数大于维数,顶多推出它们构成的矩阵列数大于行数,此时,对应的齐次线性方程组有非零解,所以线性相关。
具体过程如下:
抽象情况下,维数的标准定义是最大线性无关向量组的大小。你这里的维数应该指的是的,即向量作为一个tuple的长度。
只考虑的情况,因此要证明的维度(最大线性无关向量组的大小)就是n。
显然,我们已经有一个标准基底。因此任意个矢量都可用标准基底唯一线性表示。假设这个矢量是线性无关的,即不存在不全为零的使得。
扩展资料:
相关定理:
对于任一向量组而言,,不是线性无关的就是线性相关的。
向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。
包含零向量的任何向量组是线性相关的。
含有相同向量的向量组必线性相关。
增加向量的个数,不改变向量的相关性。(注意,原本的向量组是线性相关的)
减少向量的个数,不改变向量的无关性。(注意,原本的向量组是线性无关的)
一个向量组线性无关,则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。
一个向量组线性相关,则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。
参考资料来源:百度百科--最大线性无关向量
参考资料来源:百度百科--线性相关
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