用二重积分推导球的体积公式 用二重积分的直角坐标系证明球的体积公式！求过程！
\u7403\u7684\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f\u7684\u63a8\u5bfc\u8fc7\u7a0b\u4e0d\u8bba\u600e\u4e48\u63a8\u5bfc\uff0c\u90fd\u9700\u8981\u7528\u5230\u6781\u9650\u7684\u601d\u60f3\uff0c\u53ef\u80fd\u9700\u8981\u5230\u9ad8\u4e8c\u5b66\u6781\u9650\u7684\u65f6\u5019\u80fd\u8bb2\u5230\u3002\u5982\u679c\u4e0d\u7528\u6781\u9650\uff0c\u5219\u9700\u8981\u7528\u5230\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u5fae\u79ef\u5206\u77e5\u8bc6\u3002
1.\u5982\u679c\u5df2\u77e5\u7403\u4f53\u8868\u9762\u79ef\u662fS=4\u03c0R²\uff0c\u90a3\u4e48\u53ef\u4ee5\u8fd9\u6837\u60f3\uff1a\u60f3\u50cf\u7403\u662f\u7531\u65e0\u6570\u591a\u4e2a\u975e\u5e38\u7ec6\u7684\u5706\u9525\u6784\u6210\u7684\uff0c\u7403\u7684\u4f53\u79ef\u5c31\u662f\u6240\u6709\u5706\u9525\u7684\u4f53\u79ef\u4e4b\u548c\uff0c\u5047\u8bbe\u7ec6\u5206\u6210N\u4e2a\u8fd9\u6837\u7684\u9525\u5f62\uff0c\u5f53N\u8d8b\u8fd1\u4e8e\u65e0\u7a77\u5927\u65f6\uff0c\u5982\u679c\u6bcf\u4e2a\u5706\u9525\u5e95\u9762\u9762\u79ef\u4e3aS\uff0c\u90a3\u4e48NS\u5c31\u662f\u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef\uff0c\u800c\u9525\u5f62\u7684\u9ad8\u5c31\u8fd1\u4f3c\u662f\u534a\u5f84R\uff0c\u6240\u4ee5\u9525\u5f62\u7684\u4f53\u79ef\u662fSR/3\u3002\u52a0\u8d77\u6765\u540e\uff0c\u6574\u4e2a\u7403\u7684\u4f53\u79ef\u5c31\u662fNSR/3\uff0cNS\u662f\u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef\u3002\u6240\u4ee5\u7403\u7684\u4f53\u79ef\u5c31\u7b49\u4e8e\u7403\u8868\u9762\u79ef\u4e58\u4ee5R/3\uff0c\u56e0\u4e3a\u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef\u662f4\u03c0R²\uff0c\u6240\u4ee5\u7403\u7684\u4f53\u79ef\u5c31\u662f 4\u03c0R³/3\u3002
2.\u5982\u679c\u4f60\u4e0d\u77e5\u9053\u7403\u4f53\u8868\u9762\u79ef\uff0c\u53ef\u4ee5\u8fd9\u6837\u505a\uff1a\u5047\u8bbe\u628a\u7403\u5206\u5272\u6210\u5f88N\u591a\u4e2a\u534a\u5f84\u4ece\u5c0f\u5230\u5927\u5706\u5f62\u7684\u8584\u7247\uff0c\u5f53N\u8d8b\u8fd1\u65e0\u9650\u5927\u65f6\uff0c\u6bcf\u4e2a\u8584\u7247\u7684\u4f53\u79ef\u52a0\u548c\u5c31\u662f\u4e2a\u534a\u7403\u7684\u4f53\u79ef\u3002\u5047\u8bbe\u7403\u7684\u534a\u5f84\u4e3aR\uff0c\u5148\u770b\u5176\u4e2d\u4e00\u4e2a\u7b2ci\u5c42\u7684\u8584\u7247\uff08\u4ece\u4e0a\u534a\u7403\u5e95\u90e8\u5411\u9876\u90e8\u6570\uff09\uff0c\u5b83\u7684\u5e95\u9762\u534a\u5f84\u53ef\u4ee5\u7528\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u6c42\u51fari=\u221a{R²-[(i-1)\u00b7R/n]²}
(i=1,2,3...n)\uff0c\u8fd9\u4e00\u5c42\u8584\u7247\u7684\u4f53\u79ef\u5927\u7ea6\u4e3aVi\u2248\u03c0\u00b7ri²\u00b7(R/n)=(\u03c0R³/n)\u00b7[1-(i-1)²/n²] ,
(i=1,2,3...n)
\u534a\u7403\u4f53\u79efV/2=
\u03a3Vi
=
V1+V2+V3+...+Vn
(i=1,2,3...n) ,
(i=1,2,3...n)
=(\u03c0R³/n)\u00b7{1+[1-1²/n²]+[1-2²/n²]+[1-3²/n²]+...+[1-(1-n)²/n²]}
,
(i=1,2,3...n)
=(\u03c0R³/n)\u00b7{n-[(1²+2²+3²+...+n²)/n)]²} ,
(i=1,2,3...n)
\u6ce8\u610f\uff1a(1²+2²+3²+...+n²)/n=1/6\u00b7n\u00b7(n+1)\u00b7(2n+1)
=(\u03c0R³/n)\u00b7{n-(1/n²)\u00b7[n\u00b7(n-1)(2n-1)/6]}
,
(i=1,2,3...n)
=\u03c0R³[1-(n-1)(2n-1)/6n²]
,
(i=1,2,3...n)
=\u03c0R³[1-(1-1/n)(2-1/n)/6n]
,
(i=1,2,3...n)
\u5f53n\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u9650\u5927\u65f6\uff0c1/n\u8d8b\u5411\u4e8e0
\u6240\u4ee5\u5f53n\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u9650\u5927\u65f6\uff0c\u534a\u7403\u4f53\u79ef
V/2=2\u03c0R³/3
\u7403\u4f53\u79efV=4\u03c0R³/3
\u5982\u679c\u4e0d\u77e5\u9053\u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef\uff0c\u53ef\u4ee5\u7528\u8fd9\u4e2a\u7ed3\u8bba\u6309\u7167\u65b9\u5f0f1\u53cd\u8fc7\u6765\u53bb\u63a8\u5bfc\u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef\u3002
在-R到R上，球的上下两部分是对称的，所以t的范围应该是0到R，最后求得的积分结果乘以4。
∫（0，π）da∫（0，R）根号下（R²-t²）×（-1/2）d（R²-t²）
=∫（0，π）da （-1/2）（2/3）（R²-t²）的3/2次方丨从0到R
=∫（0，π）1/3R的三次方
=1/3πR的三次方
v=4×1/3πR的三次方=4/3πR的三次方
计算方法
体积公式是用于计算体积的公式，即计算各种几何体体积的数学算式。比如：圆柱、棱柱、锥体、台体、球、椭球等。
体积公式：计算各种由平面和曲面所围成。
一般来说一个几何体是由面、交线（面与面相交处）、交点（交线的相交处或是曲面的收敛处）而构成的图形的体积的数学算式。
在-R到R上，球的上下两部分是对称的，所以t的范围应该是0到R，最后求得的积分结果乘以4
∫（0，π）da∫（0，R）根号下（R²-t²）×（-1/2）d（R²-t²）
=∫（0，π）da （-1/2）（2/3）（R²-t²）的3/2次方丨从0到R
=∫（0，π）1/3R的三次方da
=1/3πR的三次方
v=4×1/3πR的三次方=4/3πR的三次方
不好意思，很多符号不会打，希望能看懂哈
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