已知f(t)的傅里叶变换为F(w) 求g(t)=tf(2t)和g(t)=tf'（t）的傅里叶变换 已知f（t）的频谱为F（w），试用傅里叶变换的性质求tf（2...

\u5df2\u77e5f\uff08t\uff09\u7684\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u4e3aF\uff08w\uff09 \u6c42g\uff08t\uff09=tf\uff082t\uff09\u548cg\uff08t\uff09=tf'\uff08t\uff09\u7684\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362

\u5177\u4f53\u56de\u7b54\u5982\u56fe\uff1a

\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\uff0c\u8868\u793a\u80fd\u5c06\u6ee1\u8db3\u4e00\u5b9a\u6761\u4ef6\u7684\u67d0\u4e2a\u51fd\u6570\u8868\u793a\u6210\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\uff08\u6b63\u5f26\u548c/\u6216\u4f59\u5f26\u51fd\u6570\uff09\u6216\u8005\u5b83\u4eec\u7684\u79ef\u5206\u7684\u7ebf\u6027\u7ec4\u5408\u3002\u5728\u4e0d\u540c\u7684\u7814\u7a76\u9886\u57df\uff0c\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u5177\u6709\u591a\u79cd\u4e0d\u540c\u7684\u53d8\u4f53\u5f62\u5f0f\uff0c\u5982\u8fde\u7eed\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u548c\u79bb\u6563\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u3002\u6700\u521d\u5085\u7acb\u53f6\u5206\u6790\u662f\u4f5c\u4e3a\u70ed\u8fc7\u7a0b\u7684\u89e3\u6790\u5206\u6790\u7684\u5de5\u5177\u88ab\u63d0\u51fa\u7684\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
f(t)\u662ft\u7684\u5468\u671f\u51fd\u6570\uff0c\u5982\u679ct\u6ee1\u8db3\u72c4\u91cc\u8d6b\u83b1\u6761\u4ef6\uff1a\u5728\u4e00\u4e2a\u4ee52T\u4e3a\u5468\u671f\u5185f(X)\u8fde\u7eed\u6216\u53ea\u6709\u6709\u9650\u4e2a\u7b2c\u4e00\u7c7b\u95f4\u65ad\u70b9\uff0c\u9644f\uff08x\uff09\u5355\u8c03\u6216\u53ef\u5212\u5206\u6210\u6709\u9650\u4e2a\u5355\u8c03\u533a\u95f4\uff0c\u5219F\uff08x\uff09\u4ee52T\u4e3a\u5468\u671f\u7684\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570\u6536\u655b\uff0c\u548c\u51fd\u6570S\uff08x\uff09\u4e5f\u662f\u4ee52T\u4e3a\u5468\u671f\u7684\u5468\u671f\u51fd\u6570\uff0c\u4e14\u5728\u8fd9\u4e9b\u95f4\u65ad\u70b9\u4e0a\uff0c\u51fd\u6570\u662f\u6709\u9650\u503c\uff1b\u5728\u4e00\u4e2a\u5468\u671f\u5185\u5177\u6709\u6709\u9650\u4e2a\u6781\u503c\u70b9\uff1b\u7edd\u5bf9\u53ef\u79ef\u3002
\u8fde\u7eed\u5f62\u5f0f\u7684\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u5176\u5b9e\u662f\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570\u7684\u63a8\u5e7f\uff0c\u56e0\u4e3a\u79ef\u5206\u5176\u5b9e\u662f\u4e00\u79cd\u6781\u9650\u5f62\u5f0f\u7684\u6c42\u548c\u7b97\u5b50\u800c\u5df2\u3002\u4e3a\u4e86\u5728\u79d1\u5b66\u8ba1\u7b97\u548c\u6570\u5b57\u4fe1\u53f7\u5904\u7406\u7b49\u9886\u57df\u4f7f\u7528\u8ba1\u7b97\u673a\u8fdb\u884c\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\uff0c\u5fc5\u987b\u5c06\u51fd\u6570\u5b9a\u4e49\u5728\u79bb\u6563\u70b9\u4e0a\u800c\u975e\u8fde\u7eed\u57df\u5185\uff0c\u4e14\u987b\u6ee1\u8db3\u6709\u9650\u6027\u6216\u5468\u671f\u6027\u6761\u4ef6\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362

\u5177\u4f53\u56de\u7b54\u5982\u56fe\uff1a




\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\uff0c\u8868\u793a\u80fd\u5c06\u6ee1\u8db3\u4e00\u5b9a\u6761\u4ef6\u7684\u67d0\u4e2a\u51fd\u6570\u8868\u793a\u6210\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\uff08\u6b63\u5f26\u548c\uff0f\u6216\u4f59\u5f26\u51fd\u6570\uff09\u6216\u8005\u5b83\u4eec\u7684\u79ef\u5206\u7684\u7ebf\u6027\u7ec4\u5408\u3002\u5728\u4e0d\u540c\u7684\u7814\u7a76\u9886\u57df\uff0c\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u5177\u6709\u591a\u79cd\u4e0d\u540c\u7684\u53d8\u4f53\u5f62\u5f0f\uff0c\u5982\u8fde\u7eed\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u548c\u79bb\u6563\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u3002\u6700\u521d\u5085\u7acb\u53f6\u5206\u6790\u662f\u4f5c\u4e3a\u70ed\u8fc7\u7a0b\u7684\u89e3\u6790\u5206\u6790\u7684\u5de5\u5177\u88ab\u63d0\u51fa\u7684\u3002

\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a

\u5468\u671f\u51fd\u6570f\uff08t\uff09t\uff0c\u5982\u679ct\u6ee1\u8db3\u5fb7\u8d6blai\u6761\u4ef6\uff1a\u5728\u4e00\u4e2a\u5468\u671f2tf\uff08X\uff09\u6216\u53ea\u6709\u6709\u9650\u6570\u91cf\u7684\u7b2c\u4e00\u7c7b\u4e0d\u8fde\u7eed\u70b9\u8fde\u7eed\uff0cf\uff08X\uff09\u5355\u8c03\u6216\u9644\u52a0\u53ef\u5206\u4e3a\u6709\u9650\u6570\u91cf\u7684\u5355\u8c03\u533a\u95f4\uff0c\u90a3\u4e48f\uff08X\uff092t\u5468\u671f\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570\u6536\u655b\uff0c\u548c\u51fd\u6570S\uff08X\uff09\u4e5f\u4e0e2t\u5468\u671f\u51fd\u6570\u7684\u5468\u671f\uff0c\u548c\u8fd9\u4e9b\u4e0d\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u662f\u6709\u9650\u7684\u4ef7\u503c\uff1b\u5b83\u5728\u4e00\u4e2a\u5468\u671f\u5185\u6709\u6709\u9650\u4e2a\u6781\u503c\u70b9\u3002\u7edd\u5bf9\u53ef\u79ef\u3002

\u8fde\u7eed\u5f62\u5f0f\u7684\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u5b9e\u9645\u4e0a\u662f\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570\u7684\u63a8\u5e7f\uff0c\u56e0\u4e3a\u79ef\u5206\u5b9e\u9645\u4e0a\u662f\u4e00\u4e2a\u6781\u9650\u5f62\u5f0f\u7684\u6c42\u548c\u7b97\u5b50\u3002\u4e3a\u4e86\u5728\u79d1\u5b66\u8ba1\u7b97\u548c\u6570\u5b57\u4fe1\u53f7\u5904\u7406\u4e2d\u4f7f\u7528\u8ba1\u7b97\u673a\u8fdb\u884c\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\uff0c\u51fd\u6570\u5fc5\u987b\u5728\u79bb\u6563\u70b9\u4e0a\u5b9a\u4e49\uff0c\u800c\u4e0d\u662f\u5728\u8fde\u7eed\u57df\u4e2d\u5b9a\u4e49\uff0c\u5e76\u4e14\u5fc5\u987b\u6ee1\u8db3\u51fd\u6570\u7684\u6709\u9650\u6027\u6216\u5468\u671f\u6027\u6761\u4ef6\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362

解题过程如下图：

扩展资料

f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点。

附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。

宸茬煡f(t)鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲涓篎(w) 姹俫(t)=tf(2t)鍜実(t)=tf'(t)鐨勫倕閲屽彾鍙 ...
绛旓細鍌呯珛鍙跺彉鎹锛岃〃绀鸿兘灏嗘弧瓒充竴瀹氭潯浠剁殑鏌愪釜鍑芥暟琛ㄧず鎴愪笁瑙掑嚱鏁帮紙姝ｅ鸡鍜/鎴栦綑寮﹀嚱鏁帮級鎴栬呭畠浠殑绉垎鐨勭嚎鎬х粍鍚堛傚湪涓嶅悓鐨勭爺绌堕鍩燂紝鍌呯珛鍙跺彉鎹㈠叿鏈夊绉嶄笉鍚岀殑鍙樹綋褰㈠紡锛屽杩炵画鍌呯珛鍙跺彉鎹㈠拰绂绘暎鍌呯珛鍙跺彉鎹傛渶鍒濆倕绔嬪彾鍒嗘瀽鏄綔涓虹儹杩囩▼鐨勮В鏋愬垎鏋愮殑宸ュ叿琚彁鍑虹殑銆

宸茬煡f(t)鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲涓篎(w),鍒檛f'(t)鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲鏄灏戙傛眰璇﹁В
绛旓細瀵逛簬tf(2t)锛屽簲鍏堝埄鐢ㄥ昂搴﹀彉鎹㈡ц川姹俧(2t)鐨棰戣氨涓篎(w/2)/2锛岀劧鍚庡啀鍒╃敤绾挎у姞鏉冩ц川锛堟垨棰戝煙寰垎鎬ц川锛夋眰锛屽涓婁竴涓粨鏋滀互w涓哄彉閲忚繘琛屽井鍒嗭紝鍐嶄箻浠ヨ櫄鏁板洜瀛恓锛岀粨鏋滀负jF`(w/2)/4銆傚浜庣浜屼釜鍒欏厛鍒╃敤鏃跺煙寰垎鎬ц川姹傚嚭df(t)/dt鐨勫彉鎹负jwF(w)锛岀劧鍚庡啀鍒╃敤绾挎у姞鏉冩ц川姹傦紝瀵筳wF(w)浠...

闂竴閬撶Н鍒嗗彉鎹㈢殑棰樼洰 f(t)鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲涓篎(w),鎬庢牱姹倀f(2t)浠ュ強(t...
绛旓細鎵嬫満鐗 鎴戠殑鐭ラ亾 闂竴閬撶Н鍒嗗彉鎹㈢殑棰樼洰 f(t)鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲涓篎(w),鎬庢牱姹倀f(2t)浠ュ強(t-2)f(-2t)鐨勫倕绔嬪彾鍙樻崲? f(2t)鍜宼f(t)閮界煡閬撴庝箞姹,tf(2t)灏变笉浼氫簡,鐭ラ亾鐢ㄥ井鍒嗘ц川,鍙槸瑕佹庝箞鍋氬憿?姹傝В绛... f(2t)鍜宼f(t)閮界煡閬撴庝箞姹,tf(2t)灏变笉浼氫簡,鐭ラ亾鐢ㄥ井鍒嗘ц川,鍙槸瑕佹庝箞鍋氬憿?姹傝В绛 灞曞紑 ...

宸茬煡f(t)鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲涓篎(jw),姹倀*df(t)/dt鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲?
绛旓細-w*锛坉F锛w锛/dw锛-F锛坵锛

宸茬煡f(t)鐨勫倕绔嬪彾鍙樻崲涓篎(w),(t-2)f(t)鍌呯珛鍙跺彉鎹㈡槸浠涔
绛旓細鏍规嵁鍌呴噷鍙跺彉鎹鐨勯鍩熷井鍒嗘ц川锛(-jt)f(t)F'(w)鍗 tf(t)jF'(w)(t-2)f(t)=tf(t)+2f(t)jF'(w)+2F(w)

鑻f(t)鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲鏄F(w),姹倀f(2t)鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲闇瑕佽繃绋
绛旓細濡傚浘鎵绀猴細

宸茬煡鍑芥暟f(t)鐨Fourier鍙樻崲涓篎(蠅)=蟺[未(蠅+蠅0)+未(蠅-蠅0)],姹俧...
绛旓細f(t)=cos(蠅0*t)銆傚洜涓合*未(蠅+蠅0)鐨勯鍌呴噷鍙跺彉鎹负0.5exp(-j*蠅0*t)锛屜*未(蠅-蠅0)鐨勯嗗倕閲屽彾鍙樻崲涓0.5exp(j*蠅0*t)锛屾墍浠(t)=0.5exp(-j*蠅0*t)+0.5exp(j*蠅0*t)=cos(蠅0*t)銆

姹鍌呴噷鍙跺彉鎹鐨勫叕寮忔槸浠涔?
绛旓細姹傝В杩囩▼濡備笅锛氾紙1锛夌敱涓夊嶈鍏紡锛歴in³t=3sint-4sin³t锛屽緱锛歴in³t=(3sint-sin3t)/4锛涳紙2锛夊垯sinat鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲涓簀蟺[未(w+a)-未(w-a)]锛涳紙3锛夋墍浠f(t)鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲涓篎(w)=j蟺{[3未(w+1)-3未(w-1)]-[未(w+3)-未(w-3)]}/4锛涳紙4锛夊寲绠寰楋細F...

f(t)鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲鏄F(w),鍒╃敤鍌呴噷鍙跺彉鎹㈡眰f(6-2t)
绛旓細鍥炵瓟锛歟鈭р6jw*1/2F(-w/2)

姹傝繖涓嚱鏁鐨勫倕绔嬪彾鍙樻崲
绛旓細鏍规嵁棰戠Щ瀹氱悊锛氳嫢f(t)鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲涓篎(jw)锛屽垯f(t)e^(jwt)瀵瑰簲鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲涓篎(w-w0).涓宸茬煡1鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲涓2蟺未(w)锛屾晠e^(j*w0*t)鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲涓2蟺未(w-w0)

扩展阅读：1-t f 1-t 的傅里叶变换 ... f t 的傅里叶变换公式 ... f t sin3t傅里叶变换 ... f t tu t 的傅里叶变换 ... t f 2t 的傅里叶变换 ... f t coswt的傅里叶变换 ... 傅里叶变换一览表 ... 三角波的傅里叶展开 ... 傅里叶变换将w化为f ...