常用傅里叶级数展开式怎么证明 高等数学，傅里叶级数，展开式多加了a0/2，f(x)不用减去...

\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\u5f0f\u4ee52l\u4e3a\u5468\u671f\uff0c\u8fd9\u4e2a2l\u5fc5\u987b\u662f\u6700\u5c0f\u5468\u671f\u5417

\u697c\u4e3b\u6709\u6ca1\u6709\u6ce8\u610f\u5230
\u7b54\u6848\u4e2dan=(2/\u03c0)\u222bf(x)cosnx dx\uff08\u4ece0\u5230\u03c0\uff09=(1/\u03c0)\u222bf(x)cosnx dx\uff08\u4ece-\u03c0\u5230\u03c0\uff09
\u8fd9\u4e2a\u516c\u5f0f\u662f\u6309\u71672\u03c0\u4e3a\u5468\u671f\u8ba1\u7b97\u7684
\u800c\u697c\u4e3b\u81ea\u5df1\u7684
an=(2/\u03c0)f(x)cos2nxdx\u5728-\u03c0/2\u2192\u03c0/2\u4e0a\u7684\u79ef\u5206
\u662f\u6309\u7167\u03c0\u4e3a\u5468\u671f\u8ba1\u7b97\u7684\uff0c\u4e14an\u5e94\u8be5\u662f(1/\u03c0)\u4e0d\u662f(2/\u03c0)

\u8fd9\u4e2a\u9898\u63092\u03c0\u4e3a\u5468\u671f\u6216\u8005\u03c0\u4e3a\u5468\u671f\u5c55\u5f00\u90fd\u662f\u53ef\u4ee5\u7684\uff0c\u6240\u4ee5\u4f1a\u51fa\u73b0\u8fd9\u6837\u7684\u95ee\u9898\uff0c\u5e94\u8be5\u90fd\u662f\u5bf9\u7684

a0\u4e0d\u662f0\uff0c\u9898\u4e2d\u7684a0\uff1d\u03c0\u5e73\u65b9/3

\u9898\u4e2d\u7684a0\u548c\u516c\u5f0f\u91cc\u7684a0\u4e0d\u4e00\u6837
\u8fd9\u91cc\u505a\u4e86\u6362\u5143\uff0c\u4ee4a0\uff1d\u516c\u5f0f\u91cc\u9762\u7684a0/2
\u7531\u4e8e\uff0c\u5076\u51fd\u6570\u7684\u5085\u7acb\u53f6\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\u5f0f\u4e2dbn\uff1d0
\u8fd9\u6837\u53ef\u4ee5\u5c06a0\u548can\u5408\u5e76\u5728\u4e00\u8d77
\u7d2f\u52a0\u7b26\u53f7\u7684n\u662f\u4ece0\u5230\u65e0\u7a77\u5927

\u8fd9\u9898\u91cc\u9762\uff0cn\uff1d0\u65f6\uff0ca0\u4e0d\u662f\u5085\u7acb\u53f6\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\u5f0f\u7684\u7cfb\u6570
n>0\u65f6\uff0can\u662f\u5085\u7acb\u53f6\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\u5f0f\u7684\u7cfb\u6570

a0/2\u7684\u90a3\u4e2a\u516c\u5f0f
\u662f\u5bf9\u4efb\u610f\u7684\u5468\u671f\uff1d2\u03c0\u7684f(x)
a0\u63d0\u51fa\u6765\uff0can\u548cbn\u5408\u5e76\u5728\u4e00\u8d77
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\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a

证明：根据傅里叶级数的定义，若将f(x)展开成余弦级数，则f(x)=(a0)/2+∑ancosnx，其中，an=(2/π)∫(0,π)f(x)cosnxdx，n=0,1,2，…，∞。本题中，f(x)=sinx，则an=(2/π)∫(0,π)sinxcosnxdx。 ∴a0=(2/π)∫(0,π)sinxdx=(-2/π)cosx丨(x=0,π)=4/π，a1=∫(0,π)sinxcosxdx=0，而n≠0,1时，∫(0,π)sinxcosnxdx=(1/2)∫(0,π)[sin(n+1)x-sin(n-1)x]dx=(1/2){1/(n+1)-[(-1)^(n+1)]-1/(n-1)+[(-1)^(n+1)]/(n+1)}。显然，n=2k+1时，an=0、n=2k时，an=(-4/π)/[(2k+1)(2k-1)](k=1,2,……∞）， ∴sinx=2/π+∑a2kcos2kx=2/π-(4/π)∑(cos2kx)/[(2k+1)(2k-1)]，即∑(cos2nx)/[(2n+1)(2n-1)]=1/2-(π/4)sinx(n=1,2,……，∞）。供参考。

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绛旓細璇佹槑锛氭牴鎹鍌呴噷鍙剁骇鏁鐨勫畾涔夛紝鑻ュ皢f(x)灞曞紑鎴愪綑寮︾骇鏁帮紝鍒檉(x)=(a0)/2+鈭慳ncosnx锛屽叾涓紝an=(2/蟺)鈭(0,蟺)f(x)cosnxdx锛宯=0,1,2锛屸︼紝鈭炪傛湰棰樹腑锛宖(x)=sinx锛屽垯an=(2/蟺)鈭(0,蟺)sinxcosnxdx銆 鈭碼0=(2/蟺)鈭(0,蟺)sinxdx=(-2/蟺)cosx涓(x=0,蟺)=4/蟺锛宎1=鈭...

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