常用的傅里叶级数展开 非常简单的傅里叶级数展开
\u5e38\u7528\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\u5f0f\u600e\u4e48\u8bc1\u660e\u8bc1\u660e\uff1a\u6839\u636e\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u82e5\u5c06f(x)\u5c55\u5f00\u6210\u4f59\u5f26\u7ea7\u6570\uff0c\u5219f(x)=(a0)/2+\u2211ancosnx\uff0c\u5176\u4e2d\uff0can=(2/\u03c0)\u222b(0,\u03c0)f(x)cosnxdx\uff0cn=0,1,2\uff0c\u2026\uff0c\u221e\u3002\u672c\u9898\u4e2d\uff0cf(x)=sinx\uff0c\u5219an=(2/\u03c0)\u222b(0,\u03c0)sinxcosnxdx\u3002 \u2234a0=(2/\u03c0)\u222b(0,\u03c0)sinxdx=(-2/\u03c0)cosx\u4e28(x=0,\u03c0)=4/\u03c0\uff0ca1=\u222b(0,\u03c0)sinxcosxdx=0\uff0c\u800cn\u22600,1\u65f6\uff0c\u222b(0,\u03c0)sinxcosnxdx=(1/2)\u222b(0,\u03c0)[sin(n+1)x-sin(n-1)x]dx=(1/2){1/(n+1)-[(-1)^(n+1)]-1/(n-1)+[(-1)^(n+1)]/(n+1)}\u3002\u663e\u7136\uff0cn=2k+1\u65f6\uff0can=0\u3001n=2k\u65f6\uff0can=(-4/\u03c0)/[(2k+1)(2k-1)](k=1,2,\u2026\u2026\u221e\uff09\uff0c \u2234sinx=2/\u03c0+\u2211a2kcos2kx=2/\u03c0-(4/\u03c0)\u2211(cos2kx)/[(2k+1)(2k-1)]\uff0c\u5373\u2211(cos2nx)/[(2n+1)(2n-1)]=1/2-(\u03c0/4)sinx(n=1,2,\u2026\u2026\uff0c\u221e\uff09\u3002\u4f9b\u53c2\u8003\u3002
\u56e0\u4e3a\u222baxcosnxdx=ax/n*sin(nx)-a/n\u222bsin(nx)dx=ax/n*sin(nx)+a/n²*cos(nx)+C
\u222baxsinnxdx=-ax/n*cos(nx)+a/n\u222bcos(nx)dx=a/n²*sin(nx)-ax/n*cos(nx)+C
\u6240\u4ee5an=\u222b(-\u03c0\u5230\u03c0)axcosnxdx=0
bn=\u222b(-\u03c0\u5230\u03c0)axsinnxdx=-2a\u03c0/n*cos(n\u03c0)
\u6545\u82e5n\u4e3a\u5947\u6570\uff0c\u5219bn=2a\u03c0/n
\u82e5n\u4e3a\u5076\u6570\uff0c\u5219bn=-2a\u03c0/n
\u6240\u4ee5\u51fd\u6570f(x)\u7684\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570\u4e3a
f(x)=2a\u03c0*sinx-2a\u03c0/2*sin2x+2a\u03c0/3*sin3x-2a\u03c0/4*sin4x+\u2026\u2026
在工程应用中，一般假定傅里叶级数除了在不连续点以外处处收敛，原因是工程上遇到的函数比数学家提供的这个假定的反例表现更加良好。特别地，傅里叶级数绝对收敛且一致收敛于s(x)，只要在s(x)的导数（或许不会处处存在）是平方可积的。如果一个函数在区间[x0,x0+P]上是平方可积的，那么此傅里叶级数在几乎所有点都收敛于该函数。傅里叶级数的收敛性取决于函数有限数量的极大值和极小值，这就是通常称为傅里叶级数的狄利克雷条件。对于广义函数或分布也可以用范数或弱收敛定义傅里叶系数。
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