谁能用尺规做出一角的三等分角
用尺规作图,就是在已知范围内可任意选点,过两点可作一直线,已知圆心和半径可以作一个圆。假如两直线、两圆、或一直线一圆能够作出,那么其交点也能作出。一个初等几何图形能够作出,只不过是重复引用上面的方法作一些适当点、线、圆罢了。我们引用坐标,把点换成数,作点问题变成了作数的问题。假定a,
b,
c,…是已知图形的点的坐标,在尺规作图时,我们能够作出的点不外乎就是这些数(有限次地反复)加、减、乘、除、以及开平方根运算后形成的数集。(这种由a,
b,
c,…经加减乘除四则形成的集被称为有理数体F,而采用开平方后扩张的数集K是F的正规体。注:这些概念是近世代数的基本概念。)所以,数x能用尺规作出的充分必要条件是它在F的次数为·2^m的正规体中。
这样一来,我们就能够讨论三个“古典作图问题”了。
(1)圆的求积问题:能否用尺规作出一个正方形,使它的面积等于一个已知的圆面积?
答:不能,因为若取圆的半径为1,那么它的面积是π,但π是超越数,是一个不能用有理数及有理数的平方根表示的数,因此不能用尺规作出。
(2)立方倍积问题:已知一个立方体,能否用尺规作出一个立方体,使所作立方体体积是原立方体体积的2倍?
答:不能,因若假定原立方体棱长为1,体积为1,那么要作的立方体棱长设为x,就应满足x^3=2,它的根不在有理数体的2^m次扩张体中。
(3)任意角三等分问题:已知一个任意给定的角(度数不知道),能否用尺规将这个角三等分?
答:不能,这是因为,设已知角为A,要作的角为x,满足A=3x,cosA=cos3x=4(cosx)^3-3cosx.
令cosA=a/2,
cosx=y/2,
上面三角等式就变成了代数方程y^3-3y-a=0,它的零点不在F(a)的次数为2^m的正规体中。
写到这,还想说一下,用近世代数中这种方法,还能证明,次数n>=5时任意系数的代数方程没有用根号表示的求根公式,这也是很多问友常常问起的问题。
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