谁能用尺规做出一角的三等分角
用尺规作图，就是在已知范围内可任意选点，过两点可作一直线，已知圆心和半径可以作一个圆。假如两直线、两圆、或一直线一圆能够作出，那么其交点也能作出。一个初等几何图形能够作出，只不过是重复引用上面的方法作一些适当点、线、圆罢了。我们引用坐标，把点换成数，作点问题变成了作数的问题。假定a,
b,
c,…是已知图形的点的坐标，在尺规作图时，我们能够作出的点不外乎就是这些数（有限次地反复）加、减、乘、除、以及开平方根运算后形成的数集。（这种由a,
b,
c,…经加减乘除四则形成的集被称为有理数体F，而采用开平方后扩张的数集K是F的正规体。注：这些概念是近世代数的基本概念。）所以，数x能用尺规作出的充分必要条件是它在F的次数为·2^m的正规体中。
这样一来，我们就能够讨论三个“古典作图问题”了。
（1）圆的求积问题：能否用尺规作出一个正方形，使它的面积等于一个已知的圆面积？
答：不能，因为若取圆的半径为1，那么它的面积是π,但π是超越数，是一个不能用有理数及有理数的平方根表示的数，因此不能用尺规作出。
（2）立方倍积问题：已知一个立方体，能否用尺规作出一个立方体，使所作立方体体积是原立方体体积的2倍？
答：不能，因若假定原立方体棱长为1，体积为1，那么要作的立方体棱长设为x,就应满足x^3=2,它的根不在有理数体的2^m次扩张体中。
（3）任意角三等分问题：已知一个任意给定的角（度数不知道），能否用尺规将这个角三等分？
答：不能，这是因为，设已知角为A，要作的角为x，满足A=3x，cosA=cos3x=4(cosx)^3-3cosx.
令cosA=a/2,
cosx=y/2,
上面三角等式就变成了代数方程y^3-3y-a=0，它的零点不在F(a）的次数为2^m的正规体中。
写到这，还想说一下，用近世代数中这种方法，还能证明，次数n>=5时任意系数的代数方程没有用根号表示的求根公式，这也是很多问友常常问起的问题。
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