x趋近于0时，求x^sinx的极限。拜托各位大佬了。 当x趋于0时，求x-sinx的极限。
x\u8d8b\u8fd10\uff0c\u6c42x^sinx\u7684\u6781\u9650\u503climx->0 x^sinx
=limx->0 e^lnx^sinx
=limx->0 e^(sinxlnx)
=limx->0 e^(lnx / 1/sinx) \u6307\u6570\u4e3a\u221e/\u221e\u578b\uff0c\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe
=limx->0 e^( 1/x / -cosx/sin^2 x)
=limx->0 e^(-sin^2 x / xcosx) \u6307\u6570\u91cc\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u540c\u65f6\u4e58x
=limx->0 e^(-xsin^2 x / x^2cosx)
=limx->0 e^[-x/cosx * (sinx/x)^2]
= e^[-0/1 * 1]
=e^0
=1
1\u3001\u5982\u679c\u8fd9\u662f\u4e00\u9053\u5355\u72ec\u7684\u9898\u76ee\uff0c\u90a3\u4e48\u6781\u9650\u5c31\u662f 0 - 0 = 0\uff1b
.
2\u3001\u5982\u679c\u8fd9\u662f\u4e00\u9053\u6781\u9650\u9898\u7684\u4e00\u90e8\u5206\uff0c\u90a3\u5c31\u4e0d\u53ef\u4ee5\u5199\u6210 0 - 0\uff0c
\u800c\u5fc5\u987b\u8fd0\u7528\u9ea6\u514b\u52b3\u6797\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\u5f0f\uff0c\u81f3\u5c11\u5199\u51fa
x - sinx = x - [ x - x³/6 + o(x^5) ] \uff0c
\u7136\u540e\u8ba1\u7b97\u9ad8\u9636\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u6bd4\u503c\u7684\u6781\u9650\u3002
.
3\u3001\u697c\u4e3b\u7684\u95ee\u9898\u662f\u4e0d\u662f\u4e00\u9053\u9898\u7684\u4e00\u90e8\u5206\uff1f
\u5982\u679c\u662f\uff0c\u8bf7\u8865\u5145\u5b8c\u6574\u7684\u9898\u76ee\uff0c\u4ee5\u4fbf\u7ed9\u4e88\u8fdb\u4e00\u6b65\u7684\u8be6\u7ec6\u5b8c\u6574\u7684\u7684\u89e3\u7b54\u3002
.
\u671f\u5f85\u7740\u697c\u4e3b\u7684\u95ee\u9898\u8865\u5145\u4e0e\u8ffd\u95ee\uff0c\u6709\u95ee\u5fc5\u7b54\uff0c\u6709\u7591\u5fc5\u91ca\u3002
.
这个题目有问题，应该是x→0＋，而不是x→0
在x→0＋时，极限是1
取自然对数
lim(x→0＋) lnx^sinx
=lim(x→0＋) lnx*sinx
=lim(x→0＋) lnx/(1/sinx) (运用洛必达法则）
=lim(x→0＋) 1/x/(-cosx/sin^2x)
=lim(x→0＋) (-sin^2x)/(xcosx)
=0
因此
lim(x→0＋) x^sinx
=lim(x→0＋) e^lnx^sinx
=1
极限性质
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。
3、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。
lim(x→0)sinx*lnx (0*inf.)
= lim(x→0)x*lnx (0*inf.)
= lim(x→0)lnx/(1/x) (inf./inf.)
= lim(x→0)(1/x)/(-1/x^2)
= 0
∴g.e.= e^lim(x→0)sinx*lnx = 1
扩展资料
某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
求极限基本方法有
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；
3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
4、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。
简单计算一下即可，答案如图所示
lim(x→0)sinx*lnx (0*inf.)
= lim(x→0)x*lnx (0*inf.)
= lim(x→0)lnx/(1/x) (inf./inf.)
= lim(x→0)(1/x)/(-1/x^2)
= 0
∴g.e.= e^lim(x→0)sinx*lnx = 1
扩展资料：
譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。
数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。
运用罗必达方法，解答如下，点击放大：
绛旓細鍦▁鈫0锛鏃讹紝鏋侀檺鏄1 鍙栬嚜鐒跺鏁 lim(x鈫0锛) lnx^sinx =lim(x鈫0锛) lnx*sinx =lim(x鈫0锛) lnx/(1/sinx) (杩愮敤娲涘繀杈炬硶鍒欙級=lim(x鈫0锛) 1/x/(-cosx/sin^2x)=lim(x鈫0锛) (-sin^2x)/(xcosx)=0 鍥犳 lim(x鈫0锛) x^sinx =lim(x鈫0锛) e^lnx^sinx =1 鏋侀檺...
绛旓細= lim(x鈫0)(1/x)/(-1/x^2)= 0 鈭磄.e.= e^lim(x鈫0)sinx*lnx = 1
绛旓細缁撴灉鏄1銆傛瀬闄恖im锛坸瓒嬭繎浜0+锛夋椂x鐨sinx娆℃柟鐨勬瀬闄愭眰娉曞涓嬶細璁緔=x^sinx lny=sinx*lnx =lnx/(1/sinx)鍒╃敤娲涘繀杈炬硶鍒 =(1/x)/(-cosx/sin^x)=-sin^x/xcosx =2sinxcosx/(cosx-xsinx)鎶妜=0浠ｅ叆 =0 鎵浠ny鐨勬瀬闄愭槸0 鍥犳y瓒嬩簬1 鎵浠鐨SINX娆℃柟鐨勬瀬闄愭槸1 ...
绛旓細y=x^sinx lny=sinxlnx lim(x->0)sinxlnx =lim(x->0)lnx/cscx =lim(x->0)(1/x)/(-cscx路cotx)=-lim(x->0)(sin²x/xcosx)=-lim(x->0)(x²/x)=--lim(x->0)x =0 鎵浠 鍘熷紡=e^0=1
绛旓細=lim e^ln(x^sinx )=lim e^(sinx路lnx)=lim e^(x路lnx) 銆愮瓑浠锋棤绌峰皬銆=lim e^[lnx /(1/x)]=lim e^[(1/x)/(-1/x²)]銆愭礇姣旇揪娉曞垯銆=lim e^(-x)= 1
绛旓細鏂规硶濡備笅锛岃浣滃弬鑰冿細
绛旓細x 瓒嬩簬 0 鏃讹紝xtanx , xsinx 閮芥槸鏃犵┓灏忎箻浠ユ棤绌峰皬锛屾瀬闄愬垎鍒兘鏄 0.x 瓒嬩簬 0 鏃讹紝xcosx 鏄棤绌峰皬涔樹互鏈夌晫鍊硷紝鏋侀檺鏄 0.
绛旓細sinx绛変环浜x锛灏辨槸姹倄^x銆俥^lnx*x鍦ㄧ敤娲涘繀杈惧叕寮忓緱鍑烘瀬闄愪负o
绛旓細let y= lim(x->0+)(x^(sinx))lny = lim(x->0+) sinx lnx = lim(x->0+) lnx/ cscx (0/0)= lim(x->0+) (1/x)/ -(cotx)^2 = lim(x->0+) -(tanx)^2/x =0 y = 1
绛旓細杩囩▼濡備笅锛氬仛鎭掔瓑寮忓彉鎹(sinx)^x=e^(xlnsinx) a^b=blna 绛変笅鏃犵┓灏 =e^(xlnx) sinx~x x-->0鏃 娲涘繀杈炬硶鍒 =e^0 =1
