极坐标下，二重积分如何变换积分次序……我到现在都没搞懂，求学霸详解，要有例题，谢谢 I= ∫ ∫√ (R²-X²-Y...
\u8ba1\u7b97\u6781\u5750\u6807\u4e0b\u7684\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\uff1f\u524d\u9762\u90a3\u4f4d\u56de\u7b54\u5df2\u7ecf\u5f88\u6e05\u695a\uff0c\u6211\u4ece\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\u4e0a\u4f5c\u4e00\u4e9b\u89e3\u91ca\uff1a
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\u4e0b\u9762\u8ba1\u7b97dS\uff1a\u6247\u5f62\u9762\u79ef\u7b49\u4e8e\u534a\u5f84\u7684\u5e73\u65b9\u4e58\u4ee5\u5706\u5fc3\u89d2\u7684\u5f27\u5ea6\u6570\u7684\u4e00\u534a\uff0c\u6240\u4ee5\u8fd9\u4e2a\u56fe\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u7b49\u4e8e (1/2)[(r+dr)^2-r^2]d\u03b8=[rdr+(1/2)(dr)^2]d\u03b8;
\u6ce8\u610f\u5f53 dr \u8d8b\u4e8e\u96f6\u65f6 (dr)^2 \u662f\u9ad8\u9636\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u56e0\u6b64\u5c06\u5176\u5ffd\u7565\uff0c\u5f97\u5230
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一般场合，极坐标系下二重积分的计算，都是遵循先ρ后θ的形式，少数场合需要交换次序的时候，按下面步骤来：
(1)先按先ρ后θ的次序写好。
(2)再把关于ρ和θ的区域直接转换成直角坐标系。
按照直角坐标系下交换积分次序的方法完成。
比如，区域为x²+y²≤x；
极坐标系下先ρ后θ的积分区域表示成-π/2≤θ≤π/2；
0≤ρ≤cosθ；
然后，建立以θ为横坐标，ρ为纵坐标的直角坐标系，区域变成由ρ=cosθ (-π/2≤θ≤π/2)和θ轴围成的区域，改变积分次序后，变成0≤ρ≤1-arccosρ≤θ≤arccosρ这样就可以了。
二重积分：
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
一般场合，极坐标系下二重积分的计算，
都是遵循先ρ后θ的形式，
少数场合需要交换次序的时候，按下面步骤来
(1)先按先ρ后θ的次序写好，
(2)再把关于ρ和θ的区域直接转换成直角坐标系，
按照直角坐标系下交换积分次序的方法完成。
比如，区域为
x²+y²≤x
极坐标系下先ρ后θ的积分区域表示成
-π/2≤θ≤π/2
0≤ρ≤cosθ
然后，建立以θ为横坐标，ρ为纵坐标的直角坐标系，
区域变成由
ρ=cosθ (-π/2≤θ≤π/2)和θ轴围成的区域，
改变积分次序后，变成
0≤ρ≤1
-arccosρ≤θ≤arccosρ
这样就可以了。
与直角坐标系下一样。但是微面积取法有区别：
微面积ds=ρdθdρ，一个细圆环上的一个微段。
比如，求ρcosθ在ρ≤1，θ=0~π/2的面积：
S=∫∫（D）ρcosθds
=∫∫（D）ρcosθρdθdρ
=∫（0,1）ρ²dρ∫（0，π/2）cosθdθ
=[ρ³/3]（0,1）×[sinθ]（0，π/2）
=(1/3)×1
=1/3
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