皮克定理皮克公式的证明
皮克定理的证明过程基于数学归纳法，首先假设所有简单多边形P可以被切割为一个三角形T和另一个简单多边形。若P已符合皮克公式，我们只需验证P与T的组合PT也符合皮克公式（I），以及三角形T本身也符合（II），就能证明皮克公式对于所有简单多边形的普遍适用性。在P和T共同边上有c个格点的情况下：P的面积计算为 iP + bP/2 - 1，T的面积为 iT + bT/2 - 1，而PT的面积为 (iT + iP + c - 2) + (bT- c + 2 + bP - c) /2 - 1，简化后同样符合皮克公式。
接下来，我们分别证明几种特殊情况下的图形符合皮克定理：平行于轴线的矩形，由矩形邻边和对角线构成的直角三角形，以及一般的三角形。对于矩形，其面积AR可以通过格点数计算得到，经验证确实满足皮克公式。直角三角形的边长和格点数关系同样符合，且其面积也满足皮克公式。
最后，矩形可以被分解为一个任意三角形和至多三个直角三角形。由于直角三角形和矩形都符合皮克公式，只有当这个任意三角形也符合皮克定理，整个组合才能保证皮克公式的正确性。因此，这个任意三角形的验证是整个证明的关键环节。
绛旓細O銆丳銆丵銆丮銆丯閮芥槸鏍肩偣銆傜敱浜庤繖涓紭鏁咃紝鎴戜滑鍙堝彨鏍肩偣涓烘暣鐐广備竴涓杈瑰舰鐨勯《鐐瑰鏋滃叏鏄牸鐐癸紝杩欏杈瑰舰灏卞彨鍋氭牸鐐瑰杈瑰舰銆傛湁瓒ｇ殑鏄紝杩欑鏍肩偣澶氳竟褰㈢殑闈㈢Н璁＄畻璧锋潵寰堟柟渚匡紝鍙鏁颁竴涓嬪浘褰㈣竟绾夸笂鐨勭偣鐨勬暟鐩強鍥惧唴鐨勭偣鐨勬暟鐩紝灏卞彲鐢鍏紡绠楀嚭銆傝繖涓叕寮忔槸鐨厠(Pick)鍦1899骞寸粰鍑虹殑锛岃绉颁负鈥鐨厠瀹氱悊鈥...
绛旓細鐨厠瀹氱悊璇存槑浜嗗叾闈㈢НS鍜屽唴閮ㄦ牸鐐规暟鐩畁銆佸杈瑰舰杈圭晫涓婄殑鏍肩偣鏁扮洰s鐨勫叧绯汇傚洜涓烘墍鏈夌畝鍗曞杈瑰舰閮藉彲鍒囧壊涓轰竴涓笁瑙掑舰鍜屽彟涓涓畝鍗曞杈瑰舰銆傝冭檻涓涓畝鍗曞杈瑰舰P锛屽強璺烶鏈変竴鏉″叡鍚岃竟鐨勪笁瑙掑舰T銆傝嫢P绗﹀悎鐨厠鍏紡锛屽垯鍙璇佹槑P鍔犱笂T鐨凱T浜︾鍚堢毊鍏嬪叕寮忥紙I锛夛紝浠ュ強涓夎褰㈢鍚堢毊鍏嬪叕寮忥紙II锛夛紝灏卞彲鏍规嵁鏁板褰掔撼...
绛旓細1銆鐨厠瀹氱悊锛岄氬父绉颁綔姣曞厠瀹氱悊锛屾弿杩扮殑鏄牸鐐瑰杈瑰舰闈㈢Н鐨勮绠楁柟娉曘傝瀹氱悊琛ㄦ槑锛屼竴涓《鐐逛綅浜庢暣鐐逛笂鐨勫杈瑰舰闈㈢Н鍙互閫氳繃鍏紡S=a+b/2-1璁＄畻寰楀嚭锛屽叾涓璦浠ｈ〃澶氳竟褰㈠唴閮ㄧ殑鏁寸偣鏁帮紝b浠ｈ〃澶氳竟褰㈣竟缂樹笌鏁寸偣鐩镐氦鐨勭偣鏁般2銆佸湪鏂规牸绾镐笂锛屽钩琛岀嚎缁勪箣闂寸殑浜ょ偣绉颁负鏍肩偣銆備互涓涓牸鐐逛负鍘熺偣O锛岄氳繃璇ョ偣鐨勬í鍚戝拰...
绛旓細涓句釜渚嬪瓙锛岃鏍肩偣澶氳竟褰㈡眰闈㈢Н鐨鐨厠瀹氱悊鏃讹紝鎸夌収閫昏緫锛岄渶鐢ㄦ帶鍒跺彉閲忔硶鍒嗗洓姝ヨ繘琛屸斺斿叾涓銆佹棤鍐呯偣锛屽彧鏈夎竟鐐规椂锛岃竟鐐规暟涓庡唴鍚柟鏍兼暟鐨勫叧绯伙細N杈➗2-1=鏂规牸鏁帮紱鍏朵簩銆佸浐瀹氳竟鐐规暟锛屽綋鍐呯偣0銆1銆2銆3鍙樺寲鏃讹紝鍐呯偣涓庡唴鍚柟鏍兼暟鐨勫叧绯伙細N鍐=鏂板鏂规牸鏁帮紱鍏朵笁銆佸皢鍏朵竴鍏朵簩姹囨诲彲寰鐨厠鍏紡锛氭牸鐐...
绛旓細闈㈢Н璁＄畻鍏紡锛鐨厠鍏紡:鏍肩偣澶氳竟褰㈤潰绉=澶氳竟褰竴鍛ㄧ殑鏍肩偣鏁懊2+澶氳竟褰㈠唴閮ㄦ牸鐐规暟-1 璁炬牸鐐瑰杈瑰舰鐨勯潰绉负s锛屽畠鍚勮竟涓婃牸鐐圭殑涓暟鍜屼负x銆傛牸鐐瑰杈瑰舰锛屽叾鍐呴儴閮藉彧鏈変竴涓牸鐐癸紝瀹冧滑鐨勯潰绉笌鍚勮竟涓婃牸鐐圭殑涓暟鍜岀殑瀵瑰簲鍏崇郴濡備笅琛紝璇峰啓鍑簊涓巟涔嬮棿鐨勫叧绯诲紡銆傛牸鐐圭殑璧锋簮 鏍肩偣闂璧锋簮浜庝互涓嬩袱涓棶棰樼殑鐮旂┒锛...
绛旓細S=a+b梅2-1銆鐨厠瀹氱悊鏄寚涓涓绠楃偣闃典腑椤剁偣鍦ㄦ牸鐐逛笂鐨勫杈瑰舰闈㈢Н鍏紡锛岃鍏紡鍙互琛ㄧず涓2S=2a+b-2锛屽叾涓璦琛ㄧず澶氳竟褰㈠唴閮ㄧ殑鐐规暟锛宐琛ㄧず澶氳竟褰㈣惤鍦ㄦ牸鐐硅竟鐣屼笂鐨勭偣鏁帮紝S琛ㄧず澶氳竟褰㈢殑闈㈢Н銆傚彂鐜拌呭鍚嶏細涔旀不路灏煎彜鎷夋柉路浜氬巻灞卞ぇ路鐨厠(1859~1943)鍏ㄥ悕锛欸eorgeAlexanderPick鍥界睄锛氬ゥ鍦板埄 ...
绛旓細缁欏畾椤剁偣鍧愭爣鍧囨槸鏁寸偣(鎴栨鏂瑰舰鏍肩偣)鐨勭畝鍗曞杈瑰舰,鐨厠瀹氱悊璇存槑浜嗗叾闈㈢НS鍜屽唴閮ㄦ牸鐐规暟鐩產銆佽竟涓婃牸鐐规暟鐩産鐨勫叧绯: S=a+ b/2 - 1銆 (鍏朵腑a琛ㄧず澶氳竟褰㈠唴閮ㄧ殑鐐规暟,b琛ㄧず澶氳竟褰㈣竟鐣屼笂鐨勭偣鏁,S琛ㄧず澶氳竟褰㈢殑闈㈢Н)缂栬緫鏈鐨厠鍏紡鐨勮瘉鏄 鍙互灏嗚竟鐣屼笂鐨勭偣鐪嬩綔鏄竴涓釜鍦,鍦ㄥ杈瑰舰杈逛笂鐨勫渾鍏堕潰绉彧鏈変竴鍗婂睘浜庤繖涓...
绛旓細A=I+B/2-1锛屽叾涓瑼琛ㄧず澶氳竟褰㈢殑闈㈢Н锛孖琛ㄧず澶氳竟褰㈠唴閮ㄧ殑鏁寸偣鏁帮紝B琛ㄧず澶氳竟褰㈣竟鐣屼笂鐨勬暣鐐规暟銆傝繖涓鍏紡鍙互閫氳繃瀵瑰杈瑰舰杩涜鍒嗗壊鎴愪笁瑙掑舰锛岃绠楁瘡涓笁瑙掑舰鐨勯潰绉紝骞剁粺璁″唴閮ㄦ暣鐐瑰拰杈圭晫鏁寸偣鐨勬暟閲忔潵鎺ㄥ寰楀嚭銆鐨厠瀹氱悊鍦ㄨ绠楀嚑浣曘佹暟璁哄拰绂绘暎鏁板绛夐鍩熸湁骞挎硾鐨勫簲鐢ㄣ
绛旓細閫嗚繍鐢ㄥ墠闈㈠2涓杈瑰舰鐨勮瘉鏄锛 鏃㈢劧鐭╁舰绗﹀悎鐨厠瀹氱悊锛岀洿瑙掍笁瑙掑舰绗﹀悎鐨厠瀹氱悊銆傚張鍓嶉潰璇佹槑鍒拌嫢P锛孴绗﹀悎鐨厠鍏紡锛屽垯 P鍔犱笂T鐨凱T浜︾鍚堢毊鍏嬪叕寮忋 閭ｄ箞鐢变簬鐭╁舰鍙互鍒嗚В鎴1涓换鎰忎笁瑙掑舰鍜岃嚦澶氫笁涓洿瑙掍笁瑙掑舰銆 浜庢槸鏄剧劧鏈夛紝鍙湁褰撹繖涓换鎰忎笁瑙掑舰涔熺鍚堢毊鍏嬪畾鐞嗙殑鏃跺欙紝鎵嶄細浣垮緱鍦ㄧ洿瑙掍笁瑙掑舰绗﹀悎鐨勫悓鏃讹紝...
绛旓細褰撲竴涓浣撳叿鏈夊拰鍛ㄥ洿姘斾綋鐨勭數浣嶅樊杈惧埌涓瀹氭暟鍊兼椂锛屽湪鍏堕檮杩戠殑姘斾綋灏变細浜х敓鐢垫檿锛屾斁鐢点鐨厠浜1929骞村疄楠岃瀵燂紝鎬荤粨鍑轰簩绉嶅浣撳湪鍏跺懆鍥存皵浣撲骇鐢熺數鏅曪紝鏀剧數鎵闇鐨勭數浣嶅樊锛岀О涓虹毊鍏嬪畾寰嬨2銆姣曞厠瀹氱悊鏄竴涓暟瀛鍏紡銆傛牸鐐归潰绉=鍐呴儴鏍肩偣鏁+鍛ㄧ晫鏍肩偣鏁伴櫎浠2鍐嶅噺1銆傛瘯鍏嬪畾鐞嗗彧瀵规牸鐐瑰嚫澶氳竟褰㈤傜敤銆
