四面体的重心有何性质 正四面体的性质有哪些？

\u56db\u9762\u4f53\u6709\u4ec0\u4e48\u6027\u8d28\u5b9a\u7406

\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28\uff1a\u8bbe\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3aa\uff0c\u5219\u8fd9\u4e2a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684
(1)\u5168\u9762\u79ef S\u5168= 32a\uff1b (2)\u4f53\u79ef V=
3
212
a
\uff1b
(3)\u5bf9\u68f1\u4e2d\u70b9\u8fde\u7ebf\u6bb5\u7684\u957f d=
22
a
\uff1b(\u6b64\u7ebf\u6bb5\u4e3a\u5bf9\u68f1\u7684\u8ddd\u79bb\uff0c\u82e5\u4e00\u4e2a\u7403
\u4e0e\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u76846\u6761\u68f1\u90fd\u76f8\u5207\uff0c\u5219\u6b64\u7ebf\u6bb5\u5c31\u662f\u8be5\u7403\u7684\u76f4\u5f84\u3002) (4)\u76f8\u90bb\u4e24\u9762\u6240\u6210\u7684\u4e8c\u9762\u89d2 =1
arccos3
(5)\u5bf9\u68f1\u4e92\u76f8\u5782\u76f4\u3002
(6)\u4fa7\u68f1\u4e0e\u5e95\u9762\u6240\u6210\u7684\u89d2\u4e3a=1
arccos3
(7)\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84 R=
64
a
\uff1b
(8)\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84 r=
612
a
.
(9)\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u5185\u4efb\u610f\u4e00\u70b9\u5230\u56db\u4e2a\u9762\u7684\u8ddd\u79bb\u4e4b\u548c\u4e3a\u5b9a\u503c(\u7b49\u4e8e\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u9ad8). \u76f4\u89d2\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28
\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28
\u5982\u679c\u4ece\u9762\u7684\u6570\u76ee\u4e0a\u6765\u8bf4\uff0c\u56db\u9762\u4f53\u662f\u6700\u7b80\u5355\u7684\u591a\u9762\u4f53\u3002
\u4e00\uff0e\u56db\u9762\u4f53\u6027\u8d28
1\uff0e\u56db\u9762\u4f53\u7684\u5c04\u5f71\u5b9a\u7406\uff1a\u5982\u679c\u8bbe\u56db\u9762\u4f53ABCD\u7684\u9876\u70b9A\u5728\u5e73\u9762BCD\u4e0a\u7684\u5c04\u5f71\u4e3aO\uff0c\u25b3ABC\u7684\u9762\u79ef\u4e3aS1\uff0c\u25b3ADC\u7684\u9762\u79ef\u4e3aS2\uff0c\u25b3BCD\u7684\u9762\u79ef\u4e3aS3\uff0c\u25b3ABD\u7684\u9762\u79ef\u4e3aS4\uff0c\u4e8c\u9762\u89d2A-BC-D\u4e3a\u03b81-3\uff0c\u4e8c\u9762\u89d2A-DC-B
\u4e3a\u03b82-3\uff0c\u4e8c\u9762\u89d2
A-BD-C\u4e3a\u03b83-4\uff0c\u4e8c\u9762\u89d2C-AB-D\u4e3a\u03b81-4\uff0c\u4e8c\u9762\u89d2C-AD-B\u4e3a\u03b8
2-4\uff0c\u4e8c\u9762\u89d2B-AC-D\u4e3a
\u03b8
1-2\uff0c\u5219
S1 = S2cos\u03b81-2 + S3cos\u03b81-3 + S4cos\u03b81-4 S2 = S1cos\u03b81-2 + S3cos\u03b82-3 + S4cos\u03b82-4 S3 = S1cos\u03b81-3 + S2cos\u03b82-3 + S4cos\u03b83-4 S4 = S1cos\u03b8
1-4 + S2cos\u03b8
2-4 + S3cos\u03b8
3-4
2\uff0e\u6027\u8d282(\u7c7b\u4f3c\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406)
S12
= S22 + S32 +S42 - 2S2S3 cos\u03b82-3 - 2S2S4 cos\u03b82-4 - 2S3S4 cos\u03b83-4 S22 = S12 + S32 +S42 - 2S1S3 cos\u03b81-3 - 2S1S4 cos\u03b81-4 - 2S3S4 cos\u03b83-4 S32 = S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cos\u03b81-2 - 2S1S4 cos\u03b81-4 - 2S2S4 cos\u03b82-4 S42 = S12 + S22 +S32 - 2S1S2 cos\u03b81-2 - 2S1S3 cos\u03b81-3 - 2S2S3 cos\u03b82-3
\u7279\u522b\u5730\uff0c\u5f53cos\u03b8
1-2 = cos\u03b81-4 = cos\u03b82-4 = 0\uff0c\u5373\u4e8c\u9762\u89d2C-AB-D\u3001 C-AD-B\u3001B-AC-D\u5747\u4e3a\u76f4\u4e8c
\u9762\u89d2\uff08\u4e5f\u5c31\u662fAB\u3001AC\u3001BC\u4e24\u4e24\u5782\u76f4\uff09\u65f6\uff0c\u6709S32 = S12 + S22 +S42\uff0c
\u8bc1\u660e\uff1aS32
= S3S1cos\u03b8
1-3 + S3S2cos\u03b82-3 + S3S4cos\u03b83-4 = S1 S3cos\u03b8
1-3 + S2 S3cos\u03b82-3 + S3 S4cos\u03b83-4
= S1\uff08S1 - S2cos\u03b8
1-2 + S4cos\u03b81-4\uff09+S2\uff08S2 - S1cos\u03b81-2 + S4cos\u03b82-4\uff09+S4\uff08S4 - S1cos\u03b81-4 +
S2cos\u03b82-4\uff09
= S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cos\u03b8
1-2 - 2S1S4 cos\u03b81-4 - 2S2S4 cos\u03b82-4
\u4e8c\uff0e\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28
\u8bbe\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3a\uff0c\u5219\u8fd9\u4e2a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684
a





\u6b22\u8fce\u5149\u4e34Magiccube1\u53f7\u7684\u514d\u8d39\u767e\u5ea6\u6587\u5e93\u2014\u2014\u2014\u2014\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28

\u7248\u6743\u6240\u6709@\u6dee\u5357\u4e00\u4e2d
(1)\u5168\u9762\u79ef S\u5168= 32a\uff1b (2)\u4f53\u79ef V=
3
212
a\uff1b (3)\u5bf9\u68f1\u4e2d\u70b9\u8fde\u7ebf\u6bb5\u7684\u957f d=
2
2
\uff1b(\u6b64\u7ebf\u6bb5\u4e3a\u5bf9\u68f1\u7684\u8ddd\u79bb\uff0c\u82e5\u4e00\u4e2a\u7403\u4e0e\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u76846\u6761\u68f1\u90fd\u76f8\u5207\uff0c\u5219\u6b64\u7ebf\u6bb5\u5c31\u662f\u8be5\u7403\u7684\u76f4\u5f84\u3002)
(4)\u76f8\u90bb\u4e24\u9762\u6240\u6210\u7684\u4e8c\u9762\u89d2 =1
arccos3

(5)\u5bf9\u68f1\u4e92\u76f8\u5782\u76f4\u3002
(6)\u4fa7\u68f1\u4e0e\u5e95\u9762\u6240\u6210\u7684\u89d2\u4e3a=1
arccos3

(7)\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84 R=
6
4
\uff1b (8)\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84 r=
6
12
. (9)\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u5185\u4efb\u610f\u4e00\u70b9\u5230\u56db\u4e2a\u9762\u7684\u8ddd\u79bb\u4e4b\u548c\u4e3a\u5b9a\u503c(\u7b49\u4e8e\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u9ad8). \u4e09\uff0e\u76f4\u89d2\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28
\u6709\u4e00\u4e2a\u4e09\u9762\u89d2\u7684\u5404\u4e2a\u9762\u89d2\u90fd\u662f\u76f4\u89d2\u7684\u56db\u9762\u4f53\u53eb\u505a\u76f4\u89d2\u56db\u9762\u4f53. \u76f4\u89d2\u56db\u9762\u4f53\u6709\u4e0b\u5217\u6027\u8d28\uff1a \u5982\u56fe\uff0c\u5728\u76f4\u89d2\u56db\u9762\u4f53AOCB\u4e2d\uff0c\u2220AOB=\u2220BOC=\u2220COA=90\u00b0\uff0cOA=,OB=,OC=.\u5219 \u2460\u4e0d\u542b\u76f4\u89d2\u7684\u5e95\u9762ABC\u662f\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff1b
\u2461\u76f4\u89d2\u9876\u70b9O\u5728\u5e95\u9762\u4e0a\u7684\u5c04\u5f71H\u662f\u25b3ABC\u7684\u5782\u5fc3\uff1b
\u2462\u4f53\u79ef V= 1
6
\uff1b
\u2463\u5e95\u9762\u9762\u79efS\u25b3ABC=22
222212abbcca\uff1b \u2464S2\u25b3BOC
=S\u25b3BHC\u00b7S\u25b3ABC\uff1b
\u2465S2
\u25b3BOC+S2
\u25b3AOB+S2
\u25b3AOC=S2
\u25b3ABC
\u2466
2222
1111
OHabc; \u2467\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84 R= 2
2212abc\uff1b \u2468\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84 r=AOBBOCAOCABC
SSSSabc

\u4e09\uff0e\u5e94\u7528
\u7531\u8bfe\u672c\u65b0\u6559\u6750\u7b2c\u4e8c\u518c\u4e0b(A)53\u9875\u7b2c8\u9898\u53ef\u77e5\uff0c\u6b63\u65b9\u4f53\u622a\u53bb\u56db\u4e2a\u4e09\u68f1\u9525\u540e,\u5f97\u5230\u4e00\u4e2a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u3002 \u82e5\u8bbe\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3a,\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3a\u2032\uff0c\u6b63\u65b9\u4f53\u53ca\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84\u5206\u522b\u4e3aR\u3001R\u2032,
aaaabcabcaaA
B
C
D
O H






\u6b22\u8fce\u5149\u4e34Magiccube1\u53f7\u7684\u514d\u8d39\u767e\u5ea6\u6587\u5e93\u2014\u2014\u2014\u2014\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28

\u7248\u6743\u6240\u6709@\u6dee\u5357\u4e00\u4e2d
\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5185\u5207\u7403\uff0e\uff0e\uff0e\u53ca\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u5207\u7403\uff0e\uff0e\uff0e
\u534a\u5f84\u5206\u522b\u4e3ar\u3001r',\u6613\u77e5\u6709\u5982\u4e0b\u7ed3\u8bba\uff1a \u6027\u8d28\u2460\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u5185\u63a5\u4e8e\u4e00\u6b63\u65b9\u4f53\uff0c\u4e14a\u2032=a2
\u6027\u8d28\u2461V\u6b63\u56db\u9762\u4f53=31V\u6b63\u65b9\u4f53=3
1
a3
\u6027\u8d28\u2462R'=R =
2
3a \u6027\u8d28\u2463r'=r=2
1
(\u8bc1\u660e\u7565)
\u5229\u7528\u4e0a\u8ff0\u7ed3\u8bba\u53ef\u8fc5\u901f\u89e3\u51b3\u5982\u4e0b\u5404\u9898:
\u4f8b1.\u6b63\u4e09\u68f1\u9525S-ABC\u7684\u4fa7\u68f1\u4e0e\u5e95\u9762\u8fb9\u957f\u76f8\u7b49\uff0c\u5982\u679c E\u3001F\u5206\u522b\u4e3aSC\u3001AB\u7684\u4e2d\u70b9\uff0c\u90a3\u4e48\u5f02\u9762\u76f4\u7ebfEF\u4e0eSA\u6240\u6210\u7684\u89d2\u7b49( ) (90\u5e74\u5168\u56fd\u9ad8\u8003\u8bd5\u9898)
(A) 90\u00b0 \uff08B\uff0960\u00b0 \uff08C\uff0945\u00b0 \uff08D\uff0930\u00b0
\u5206\u6790\uff1a\u672c\u9898\u82e5\u4ed4\u7ec6\u89c2\u5bdf\u5df2\u77e5\u6761\u4ef6\uff0c\u6613\u77e5S-ABC\u4e3a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u3002\u800c\u4e00\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u5fc5\u53ef\u8865\u6210\u6b63\u65b9\u4f53\uff08\u5982\u56fe2)\uff0c\u663e\u7136\uff0cEF\u5728\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u4e24\u5e95\u9762\u7684\u4e2d\u5fc3\u8fde\u7ebf\u4e0a\uff0c\u4e0e\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u4fa7\u68f1SD\u5e73\u884c\uff0c\u7531\u2220ASD=45\u00b0\uff0c\u77e5\u9009(C).
\u4f8b2.\u68f1\u957f\u4e3a2\u7684\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u4f53\u79ef\u4e3a_____________.(98\u5e74\u4e0a\u6d77\u9ad8\u8003\u9898)
\u672c\u9898\u82e5\u76f4\u63a5\u8ba1\u7b97,\u6709\u4e00\u5b9a\u7684\u96be\u5ea6\u4e0e\u8ba1\u7b97\u91cf,\u82e5\u5229\u7528\u4e0a\u8ff0\u4e60\u9898\u7ed3\u8bba,\u5c06\u5176\u8865\u6210\u6b63\u65b9\u4f53,\u53ef\u53d6\u5f97\u4e8b\u534a\u529f\u500d\u4e4b\u6548.
\u89e3: \u5c06\u8be5\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u8865\u6210\u6b63\u65b9\u4f53,\u7531\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3a2,\u6613\u77e5\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3a2.\u6545V
\u6b63\u65b9\u4f53
=(2)3=22 \u2234V\u6b63\u56db\u9762\u4f53=31V\u6b63\u65b9\u4f53=3
3
2 \u3002
\u4f8b3.\u4e00\u4e2a\u7403\u4e0e\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u76846\u6761\u68f1\u90fd\u76f8\u5207,\u82e5\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3aa,\u5219\u8fd9\u4e2a\u7403\u7684\u4f53\u79ef\u4e3a__________. (2000\u5e74\u5168\u56fd\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\u7ade\u8d5b\u8bd5\u9898)
\u672c\u9898\u6240\u7ed9\u7684\u53c2\u8003\u7b54\u6848\u8f83\u590d\u6742,\u82e5\u80fd\u628a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u8865\u6210\u6b63\u65b9\u4f53\uff0c\u7136\u540e\u518d\u5229\u7528\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u5207\u7403\u534a\u5f84\u7b49\u4e8e\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84\u89e3\u51b3,\u5c31\u4f1a\u6709\u610f\u60f3\u4e0d\u5230\u7684\u89e3\u9898\u529f\u6548.
\u89e3:(\u5982\u56fe)\u5c06\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u8865\u6210\u6b63\u65b9\u4f53,\u7531\u4e0a\u8ff0\u7ed3\u8bba\u53ef\u77e5\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u5207\u7403\u5373\u4e3a\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5185\u5207\u7403.
\u2235\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3aa \u2234\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3a
2
2a \u2234\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84 r=
4
2a \u2234V\u68f1\u5207\u7403=34\u03c0r3=34\u03c0\u00d7(42a)3=24
2a3
.
\u4f8b4.\u5982\u56feS-ABC \u662f\u4e00\u4f53\u79ef\u4e3a72\u7684\u6b63\u56db\u9762\u4f53,\u8fde\u63a5\u4e24\u4e2a\u9762\u7684\u91cd\u5fc3E\u3001F\uff0c\u5219\u7ebf\u6bb5EF\u7684\u957f\u662f____.(2000
A
B
C
D
E
F
G
HAD
B
C
S
E
F






\u6b22\u8fce\u5149\u4e34Magiccube1\u53f7\u7684\u514d\u8d39\u767e\u5ea6\u6587\u5e93\u2014\u2014\u2014\u2014\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28

\u7248\u6743\u6240\u6709@\u6dee\u5357\u4e00\u4e2d
\u5e74\u6625\u5b63\u9ad8\u8003\u9898)
\u5206\u6790\uff1a\u8fde\u63a5SE\u3001SF\u5ef6\u957f\u5206\u522b\u4ea4AB\u3001BC \u4e8eG\u3001H\uff0c\u6613\u77e5 EF=32GH=3
1
AB\uff0c\u6545\u53ea\u9700\u6c42\u51fa\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u5373\u53ef\uff0c\u672c\u9898\u82e5\u76f4\u63a5\u7531\u4f53\u79ef\u6c42\u68f1\u957f\u6709\u4e00\u5b9a\u7684\u96be\u5ea6\uff0c\u82e5\u6839\u636e\u4e60
\u9898\u7ed3\u8bba\u2460\u2461\uff0c\u5148\u628a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u8865\u6210\u6b63\u65b9\u4f53\uff0c\u5219V\u6b63\u65b9\u4f53=3V\u6b63\u56db\u9762\u4f53=216\uff0c\u6545\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u68f1\u4e3a6\uff0c\u800c\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1
\u957f\u4e3a62\uff0c\u6240\u4ee5EF=3
1
AB=22.
\u4f8b5.\u6b63\u4e09\u68f1\u9525A- BCD\u5f97\u4fa7\u68f1\u957f\u4e0e\u5e95\u9762\u8fb9\u957f\u76f8\u7b49,\u9876\u70b9A\u3001B\u3001C\u3001D\u5728\u540c\u4e00\u4e2a\u7403\u9762\u4e0a\uff0cCC1\u548cDD1\u662f\u8be5\u7403\u5f97\u76f4\u5f84\uff0c\u5219\u5e73\u9762ABC\u4e0e\u5e73\u9762AC1D1\u6240\u6210\u89d2\u7684\u6b63\u5f26\u503c\u4e3a____________.(\u7b2c\u5341\u4e00\u5c4a\u201c\u5e0c\u671b\u676f\u201d\u9ad8\u4e00\u57f9\u8bad\u9898)
\u5206\u6790:\u5229\u7528\u4e60\u9898\u7ed3\u8bba\u2460\u2462\u53ef\u77e5,\u6b63\u4e09\u68f1\u9525A-BCD\u4e0e\u5b83\u5916\u63a5\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5404\u9876\u70b9\u5171\u7403\u9762.\u6545\u6784\u9020\u5982\u56fe5\u7684\u6b63\u65b9\u4f53AD1CB1- C1BA1D,\u6613\u77e5CC1\u4e0eDD1\u5c31\u662f\u8be5\u7403\u7684\u76f4\u5f84.\u53d6AB\u7684\u4e2d\u70b9O,\u8fdeD1O\u3001CO\uff0c\u5219\u2220COD1\u662f\u5e73\u9762ABC\u4e0e\u5e73\u9762AC1D1\u6240\u6210\u7684\u9510\u89d2\u4e8c\u9762\u89d2\uff0c\u4e8e\u662f
sin\u2220COD1=COCD1=3
6

\u4f8b6.\u534a\u5f84\u4e3aR\u7684\u7403\u7684\u5185\u63a5\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u4f53\u79ef\u7b49\u4e8e___________. (\u7b2c\u5341\u4e00\u5c4a\u201c\u5e0c\u671b\u676f\u201d\u9ad8\u4e00\u57f9\u8bad\u9898)
\u5206\u6790:\u7531\u4e0a\u8ff0\u7ed3\u8bba\u2460\u2461\u2462\u53ef\u77e5,\u534a\u5f84\u4e3aR\u7684\u7403\u7684\u5185\u63a5\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5bf9\u89d2\u7ebf\u957f\u4e3a2R,\u6545\u5176\u68f1\u957f\u4e3a
R3
3
2,\u5176\u4f53\u79ef\u4e3aV\u6b63\u65b9\u4f53=(
R332)3=R2734,V\u6b63\u56db\u9762\u4f53=R27
38.

\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u5c31\u662f\u7531\u56db\u4e2a\u5168\u7b49\u6b63\u4e09\u89d2\u5f62\u56f4\u6210\u7684\u7a7a\u95f4\u5c01\u95ed\u56fe\u5f62\u3002\u5b83\u67096\u6761\u68f1\uff0c4\u4e2a\u9876\u70b9\u3002\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u662f\u4e00\u79cd\u67cf\u62c9\u56fe\u591a\u9762\u4f53\uff0c\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u4e0e\u81ea\u8eab\u5bf9\u5076\u3002 \u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u91cd\u5fc3\u3001\u56db\u6761\u9ad8\u7684\u4ea4\u70b9\u3001\u5916\u63a5\u7403\u3001\u5185\u5207\u7403\u7403\u5fc3\u5171\u70b9\uff0c\u6b64\u70b9\u79f0\u4e3a\u4e2d\u5fc3\u3002 \u6b63\u56db\u9762\u4f53\u6709\u4e00\u4e2a\u5728\u5176\u5185\u90e8\u7684\u5185\u5207\u7403\u548c\u4e03\u4e2a\u4e0e\u56db\u4e2a\u9762\u90fd\u76f8\u5207\u7684\u65c1\u5207\u7403\uff0c\u5176\u4e2d\u6709\u4e09\u4e2a\u65c1\u5207\u7403\u7403\u5fc3\u5728\u65e0\u7a77\u8fdc\u5904\u3002 \u6b63\u56db\u9762\u4f53\u6709\u56db\u6761\u4e09\u91cd\u65cb\u8f6c\u5bf9\u79f0\u8f74\uff0c\u516d\u4e2a\u5bf9\u79f0\u9762\u3002 \u6b63\u56db\u9762\u4f53\u53ef\u4e0e\u6b63\u516b\u9762\u4f53\u586b\u6ee1\u7a7a\u95f4\uff0c\u5728\u4e00\u9876\u70b9\u5468\u56f4\u6709\u516b\u4e2a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u548c\u516d\u4e2a\u6b63\u516b\u9762\u4f53\u3002\u5f53\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3aa\u65f6\uff0c\u4e00\u4e9b\u6570\u636e\u5982\u4e0b\uff1a\u9ad8\uff1a\u221a6a/3\u3002\u4e2d\u5fc3\u628a\u9ad8\u5206\u4e3a1:3\u4e24\u90e8\u5206\u3002\u8868\u9762\u79ef\uff1a\u221a3a^2\u4f53\u79ef\uff1a\u221a2a^3/12\u5bf9\u68f1\u4e2d\u70b9\u7684\u8fde\u7ebf\u6bb5\u7684\u957f\uff1a\u221a2a/2\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84\uff1a\u221a6a/4\uff0c\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u4f53\u79ef\u5360\u5916\u63a5\u7403\u4f53\u79ef\u76842*3^0.5/9*\u03c0\uff0c\u7ea612.2517532%\u3002\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84\uff1a\u221a6a/12\uff0c\u5185\u5207\u7403\u4f53\u79ef\u5360\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u4f53\u79ef\u7684\u03c0*3^0.5/18\uff0c\u7ea630.2299894%\u3002\u68f1\u5207\u7403\u534a\u5f84\uff1a\u221a2a/4.\u4e24\u6761\u9ad8\u5939\u89d2\uff1a2ArcSin\uff08\u221a6/3\uff09=ArcCos(-1/3)=\u22481.91063 32362 49\uff08\u5f27\u5ea6\uff09\u6216109\u00b028\u203216\u203339428 41664 889\u3002\u8fd9\u4e00\u6570\u503c\u4e0e\u4e09\u7ef4\u7a7a\u95f4\u4e2d\u6c42\u6700\u5c0f\u9762\u6709\u5173\uff0c\u4e5f\u662f\u8702\u5de2\u5e95\u83f1\u5f62\u7684\u949d\u89d2\u7684\u89d2\u5ea6.\u4e24\u90bb\u9762\u5939\u89d2\uff1a2ArcSin\uff08\u221a3/3\uff09=ArcCos(1/3)\u22481.23095 94173 4077\uff08\u5f27\u5ea6\uff09\u621670\u00b031\u203243\u203360571 58335 111\uff0c\u4e0e\u4e24\u6761\u9ad8\u5939\u89d2\u5728\u6570\u503c\u4e0a\u4e92\u8865\u3002\u4fa7\u68f1\u4e0e\u5e95\u9762\u7684\u5939\u89d2\uff1aArcCos\uff08\u221a3/3\uff09

1、四面体的四个顶点与所对面(三角形)的重心连线(四条线段)必相交于同一点，即四面体的重心。

2、若在四面体的四个顶点处各置重量相同的质心，则这个质点系的质心就在该四面体的重心处。或者当四面体由均匀物质构成时，它的质心就在四面体的重心处。

3、四面体的重心平分四面体的每一双对棱中点连线。连结四面体的顶点与所对面的重心的线段，被四面体的重心内分为3∶1(从顶点量起)。

4、过四面体的每双对棱作一对平行平面，这三对平行平面围成一个平行六面体，即为原四面体的外接平行六面体，四面体的棱都是其外接平行六面体的面(平行四边形)上的对角线，四面体的重心平分其外接平行六面体的每一条对角线。

扩展资料

平面上的多边形至少三条边，空间的几何体至少四个面，所以四面体是空间最简单的几何体。四面体又称三棱锥。三棱锥有六条棱长，四个顶点，四个面。

底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥称作正三棱锥；而由四个全等的正三角形组成的四面体称为正四面体。

三棱锥是一种简单多面体。指空间两两相交且不共线的四个平面在空间割出的封闭多面体。它有四个面、四个顶点、六条棱、四个三面角、六个二面角与十二个面角。

若四个顶点为A，B，C，D.则可记为四面体ABCD，当看做以A为顶点的三棱锥时，也可记为三棱锥A-BCD。四面体的每个顶点都有惟一的不通过它的面，称为该顶点的对面，原顶点称这个面的对顶点。

在四面体的六条棱中，没有公共端点的两条称为对棱。四面体有三双对棱。且对棱的中点连结的线段(三条)彼此平分于同一点即四面体的重心，亦称四面体的形心。

参考资料来源：百度百科-四面体

四面体的重心有以下性质：

1. 重心是四面体的内部点：重心位于四面体内部，且到四个顶点的距离相等。

2. 重心将四面体的高度平分：连接重心和每个顶点的线段长度相等，因此重心将每个面的高度平分。

3. 重心是质心和重心连线的二分之一处：质心是四面体顶点的平均数，而重心是质心和重心连线的二分之一处。

4. 通过重心的平面将四面体分为两个等体积的三角形锥：连接重心与任意三个顶点可以得到三个三角形，这三个三角形的面积之和等于整个四面体的面积的三分之二。

5. 重心是四面体的稳定点：当四面体在任意方向上受到平衡力时，它的重心将保持不动。

这些性质使得四面体的重心在几何学和物理学中具有重要的应用，例如计算四面体的体积、质量分布、平衡和旋转等问题。

重心，顾名思义即为四面体重量的中心。它有两个性质：
（1）假设四面体四个顶点A、B、C、D坐标为（xA,yA,zA）,（xB,yB,zB）,（xC,yC,zC）,（xD,yD,zD），其重心为E(xE,yE,zE)。则xE=(xA+xB+xC+xD)/4,yE=(yA+yB+yC+yD)/4,zE=(zA+zB+zC+zD)/4。
（2）四个字四面体EABC,EABD,EACD,EBCD的重量相等。以上性质总结得不够全面，欢迎继续跟进：）

四面体的重心具有以下性质：
1. 重心是四面体所有顶点的连线中点。也就是说，重心到四面体的每个顶点的距离是相等的。
2. 重心将四面体分成三对相等的体积。也就是说，通过重心，可以将四面体分为相等的两个部分，每个部分包含的体积都与其他两个部分相等。
3. 重心到四面体的每个面的距离与其到其他面的距离之和相等。也就是说，重心到四面体的底面的距离，与其到侧面的距离之和等于其到其他底面的距离。
4. 重心是四面体的对称中心。也就是说，通过重心，可以找到四面体的一种对称操作，使得将四面体绕重心旋转180度后与原来的四面体相重合。
这些性质使得四面体的重心在几何学和力学中有一定的重要性，它可以用于确定四面体的平衡位置、计算质心坐标和进行一些几何分析。

用悬垂法

鍥涢潰浣撶殑閲嶅績鏈変綍鎬ц川
绛旓細1銆佸洓闈綋鐨勫洓涓《鐐逛笌鎵瀵归潰(涓夎褰)鐨勯噸蹇冭繛绾(鍥涙潯绾挎)蹇呯浉浜や簬鍚屼竴鐐癸紝鍗鍥涢潰浣撶殑閲嶅績銆2銆佽嫢鍦ㄥ洓闈綋鐨勫洓涓《鐐瑰鍚勭疆閲嶉噺鐩稿悓鐨勮川蹇冿紝鍒欒繖涓川鐐圭郴鐨勮川蹇冨氨鍦ㄨ鍥涢潰浣撶殑閲嶅績澶勩傛垨鑰呭綋鍥涢潰浣撶敱鍧囧寑鐗╄川鏋勬垚鏃讹紝瀹冪殑璐ㄥ績灏卞湪鍥涢潰浣撶殑閲嶅績澶勩3銆佸洓闈綋鐨勯噸蹇冨钩鍒嗗洓闈綋鐨勬瘡涓鍙屽妫变腑鐐硅繛绾裤傝繛缁...

鍥涢潰浣撶殑閲嶅績鏈変綍鎬ц川
绛旓細閲嶅績,椤惧悕鎬濅箟鍗充负鍥涢潰浣閲嶉噺鐨勪腑蹇.瀹冩湁涓や釜鎬ц川锛氾紙1锛夊亣璁惧洓闈綋鍥涗釜椤剁偣A銆丅銆丆銆丏鍧愭爣涓猴紙xA,yA,zA锛,锛坸B,yB,zB锛,锛坸C,yC,zC锛,锛坸D,yD,zD锛,鍏堕噸蹇冧负E(xE,yE,zE).鍒檟E=(xA+xB+xC+xD)/4,yE=(yA+yB+yC+yD)/4,z...

鍥涢潰浣撴ц川
绛旓細(1)鍥涢潰浣撳悇妫遍暱鐨勫钩鏂瑰拰锛岀瓑浜庝笁缁勫妫变腑鐐硅繛绾跨殑骞虫柟鍜岀殑鍥涘嶏紱(2)鍥涢潰浣撳洓涓嚎(杩炲洓闈綋鍚勯《鐐逛笌鍏跺闈㈤噸蹇冪殑绾挎)浜や簬涓鐐癸紝杩欑偣绉颁负鍥涢潰浣撶殑閲嶅績锛岄噸蹇冨垎鍚勪腑绾夸粠椤剁偣绠楄捣鐨勪袱閮ㄥ垎涔嬫瘮涓3鈭1锛(3)浠讳綍涓涓洓闈綋鎬绘湁涓涓鐐癸紝浠庤繖涓鐐瑰彂鍑虹殑涓夋潯妫变负涓夎竟鍙互浣滄垚涓涓笁瑙掑舰锛(4)闄ゅ洓闈...

鍥涢潰浣撶殑涓績鍦ㄥ摢閲?
绛旓細璇佹槑锛氳鍥涢潰浣涓篜ABC 鍙朆C鐨勪腑鐐笵 杩炴帴PD锛孉D 鍦≒D涓婂彇E涓轰笁瑙掑舰PBC鐨勯噸蹇 鍦ˋD涓婂彇F涓轰笁瑙掑舰ABC鐨勯噸蹇 鍐嶈繛鎺F锛孉E 鍒橮F锛孉E鍒嗗埆鏄《鐐笰锛孭鍒板闈㈤噸蹇冪殑绾挎 鍥犱负瀹冧滑鍦ㄥ悓涓骞抽潰PAD 鏁呰繖鐐瑰埌椤剁偣鐨勮窛绂绘槸瀹冨埌瀵归潰閲嶅績璺濈鐨勪笁鍊

姝鍥涢潰浣褰㈡湁浠涔鎬ц川鍚?
绛旓細鍏舵锛屾鍥涢潰浣撳舰鍏锋湁涓浜涚壒娈婄殑鎬ц川銆備緥濡傦紝瀹冨叿鏈夊绉版э紝鍗充换鎰忎竴涓潰閮藉彲浠ラ氳繃鏃嬭浆鍙樻垚鍙︿竴涓潰锛岃屼笖鏃嬭浆瑙掑害閮芥槸鐩哥瓑鐨銆傛澶栵紝姝ｅ洓闈綋褰㈢殑閲嶅績銆佸蹇冦佸唴蹇冨拰鍨傚績閮藉湪鍚屼竴涓偣涓婏紝杩欎釜鐐瑰彨鍋氬洓闈綋褰㈢殑鍨傚績銆傚彟澶栵紝姝ｅ洓闈綋褰㈠湪瀹為檯涓湁寰堝搴旂敤銆備緥濡傦紝鍦ㄥ寲瀛︿腑锛屾鍥涢潰浣撳舰鍙互浠ｈ〃涓浜涘垎瀛愮殑...

姝鍥涢潰浣撻噸蹇鍑犵瓑鍒
绛旓細4绛夊垎銆傛鍥涢潰浣琚閲嶅績鍥涚瓑鍒嗐傛垚涓4涓浉鍚岀殑4妫遍敟銆

姝鍥涢潰浣鏄粈涔堟牱鐨勫浘褰㈠晩
绛旓細涓嬮潰鏄畠鐨勫熀鏈鎬ц川锛1.姝ｅ洓闈綋鏄竴绉嶆煆鎷夊浘澶氶潰浣擄紝姝ｅ洓闈綋涓庤嚜韬鍋躲2.姝鍥涢潰浣撶殑閲嶅績銆佸洓鏉￠珮鐨勪氦鐐广佸鎺ョ悆銆佸唴鍒囩悆鐞冨績鍏辩偣锛屾鐐圭О涓轰腑蹇冦3.姝ｅ洓闈綋鏈変竴涓湪鍏跺唴閮ㄧ殑鍐呭垏鐞冨拰涓冧釜涓庡洓涓潰閮界浉鍒囩殑鏃佸垏鐞冿紝鍏朵腑鏈変笁涓梺鍒囩悆鐞冨績鍦ㄦ棤绌疯繙澶勩4.姝ｅ洓闈綋鏈夊洓鏉′笁閲嶆棆杞绉拌酱锛屽叚涓...

鍥涢潰浣撶殑鎬ц川
绛旓細鍥涢潰浣撶殑鎬ц川濡備笅锛1銆佸洓涓潰閮芥槸涓夎褰細浠绘剰涓夎竟鏋勬垚鐨勫钩闈㈤兘涓嶄笌绗洓杈规瀯鎴愮殑骞抽潰鍏遍潰銆傚洓涓《鐐规瀯鎴愮殑涓変釜闈簰涓嶅叡闈傚洓涓《鐐圭殑杩炵嚎涓病鏈変换浣曚竴涓綅浜庡彟澶栦笁涓殑骞抽潰鍐呫鍥涢潰浣撶殑閲嶅績銆佸蹇冦佸唴蹇冦佸瀭蹇冮兘瀛樺湪銆2銆佹鍥涢潰浣撳睍寮锛氳灏嗗叾灞曞紑鎴愪竴涓瓑杈逛笁瑙掑舰鍜屼笁涓瓑鑵颁笁瑙掑舰鐨勭粍鍚堬紝鍙互鍏堝皢...

姝鍥涢潰浣撶殑鎬ц川
绛旓細姝鍥涢潰浣撶殑閲嶅績銆佸洓鏉￠珮鐨勪氦鐐广佸鎺ョ悆銆佸唴鍒囩悆鐞冨績鍏辩偣锛屾鐐圭О涓轰腑蹇冦傛鍥涢潰浣撴湁涓涓湪鍏跺唴閮ㄧ殑鍐呭垏鐞冨拰涓冧釜涓庡洓涓潰閮界浉鍒囩殑鏃佸垏鐞冿紝鍏朵腑鏈変笁涓梺鍒囩悆鐞冨績鍦ㄦ棤绌疯繙澶勩傛鍥涢潰浣撴湁鍥涙潯涓夐噸鏃嬭浆瀵圭О杞达紝鍏釜瀵圭О闈傛鍥涢潰浣撳彲涓庢鍏潰浣撳～婊＄┖闂达紝鍦ㄤ竴椤剁偣鍛ㄥ洿鏈夊叓涓鍥涢潰浣撳拰鍏釜姝ｅ叓闈...

姝鍥涢潰浣撶殑鎬ц川鏈夊摢浜?
绛旓細3銆佹鍥涢潰浣撴槸涓ょ粍瀵规１鍨傜洿鐨勭瓑闈㈠洓闈綋銆 4銆佹鍥涢潰浣撶殑鍚勬１鐨勪腑鐐规槸姝ｅ叓闈綋鐨勫叚椤剁偣銆 5銆佹鍥涢潰浣撶殑鍥涗釜鏃佸垏鐞冨崐寰勫潎鐩哥瓑,绛変簬鍐呭垏鐞冨崐寰勭殑2鍊,鎴栫瓑浜庡洓闈綋楂樼嚎鐨勪竴鍗娿 6銆佹鍥涢潰浣撶殑鍐呭垏鐞冧笌鍚勪晶鑰岀殑鍒囩偣鏄晶I闈笁瑙掑舰鐨勫蹇,鎴栧唴蹇,鎴栧瀭蹇,鎴閲嶅績,闄ゅ蹇冨,鍏堕嗗懡棰樺潎鎴愮珛銆 7銆佹鍥涢潰浣撶殑澶栨帴...

扩展阅读：三角中心 重心 外心 ... 三角形重心的3个结论 ... 正四面体的二级结论 ... 正四面体必背知识点 ... 重心分中线2比1的推理 ... 正四面体的高必过重心吗 ... 重心垂心内心外心 ... 重心的三个特点 ... 重心向量的三大结论 ...