内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
1、内心
（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点或内切圆的圆心。
（2）三角形的内心的性质
①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
③s=(r是内切圆半径)
④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/2
2、外心
（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
（2）三角形的外心的性质
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等
3、重心
（1）三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。（2）三角形的重心的性质
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
4、垂心
（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
（2）三角形的垂心的性质
①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外
②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心
③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上
扩展资料：
三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
重心记忆口诀：
三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了。
外心记忆口诀：
三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点。
垂心记忆口诀：
角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清.
内心记忆口诀：
三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．
参考资料来源：百度百科-三角形五心定律
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