数学竞赛题
\u6570\u5b66\u7ade\u8d5b\u9898\u8bc1\u660e\uff1a\u5047\u5b9an\u5177\u6709\u6240\u8ff0\u6027\u8d28\uff0c\u90a3\u4e48\u516d\u4e2a\u6570n\uff0cn\uff0b1\uff0cn\uff0b2\uff0cn\uff0b3\uff0cn\uff0b4\uff0cn\uff0b5\u4e2d\u4efb\u4e00\u4e2a\u7d20\u56e0\u6570p\u5fc5\u5b9a\u8fd8\u6574\u9664\u53e6\u4e00\u4e2a\u6570(\u5728\u53e6\u4e00\u4e2a\u5b50\u96c6\u4e2d)\uff0e\u56e0\u800cp\u6574\u9664\u8fd9\u4e24\u4e2a\u6570\u7684\u5dee\uff0c\u6240\u4ee5p\u53ea\u80fd\u4e3a2\uff0c3\uff0c5\uff0e
\u518d\u8003\u8651\u6570n\uff0b1\uff0cn\uff0b2\uff0cn\uff0b3\uff0cn\uff0b4\uff0e\u5b83\u4eec\u7684\u7d20\u56e0\u6570\u4e0d\u80fd\u4e3a5(\u5426\u5219\u4e0a\u9762\u7684\u516d\u4e2a\u6570\u4e2d\u53ea\u6709\u4e00\u4e2a\u88ab5\u6574\u9664)\uff0c\u56e0\u6b64\u53ea\u80fd\u4e3a2\u4e0e3\uff0e\u8fd9\u56db\u4e2a\u6570\u4e2d\u6709\u4e24\u4e2a\u4e3a\u8fde\u7eed\u5947\u6570\uff0e\u5b83\u4eec\u5fc5\u987b\u662f3\u7684\u6b63\u6574\u6570\u5e42(\u56e0\u4e3a\u6ca1\u6709\u5176\u5b83\u56e0\u6570)\uff0c\u4f46\u8fd9\u6837\u4e24\u4e2a\u5e42\u7684\u5dee\u88ab3\u6574\u9664\uff0c\u51b3\u4e0d\u80fd\u7b49\u4e8e2\uff0e\u77db\u76fe\uff01\u8fd9\u5c31\u8bf4\u660e\u5177\u6709\u6240\u8ff0\u6027\u8d28\u7684n\u662f\u4e0d\u5b58\u5728\u7684\uff0e
\u88ab\u9664\u6570\u4e3a122636\uff0c\u9664\u6570124\uff0c\u5546\u4e3a989\uff0c\u63a5\u4e0b\u6765\u5c31\u662f\u81ea\u5df1\u8fd0\u7b97\u4e86\uff0c\u671b\u91c7\u7eb3\uff0c\u8c22\u8c22\u3002
1.存在证明：因为方程px^2+qx+p=0,且方程有有理数解
所以q^2-4p^2为平方数
设q^2-4p^2=k^2
q^2-k^2=4p^2
(q-k)(q+k)=4p^2
因为p,q为质数，且k>0
所以q+k>q-k,p^2>=4
可得出一下几组解
(1)q-k=1,q+k=4p^2
相加得：2q=(1+4p^2)
q=(4p^2+1)/2
因为4p^2为偶数
所以4p^2+1为奇数
所以q不是整数
所以不成立
(2)q-k=2,q+k=2p^2
所以q=p^2+1
因为质数除2以外都是奇数
所以当质数p>2
所以p^2为奇数
所以p^2+1为偶数且大于2，即q为大于2得偶数，那么与q为素数不符
所以有且只有p=2时
q=2^2+1=5
所以有一组解:p=2,q=5
到这里就可以说“存在”
不过可以继续全部验证：
(3)q-k=4,q+k=p^2
所以q=(p^2+4)/2
因为当素数p>2，所以p为奇素数，所以p^2为奇数
所以奇数+偶数=奇数
奇数/2不为整数
所以当p>2，不成立
所以p=2
同样q=5
(4)q-k=p,q+k=4p
所以q=5/2p
所以如果q为整数
所以p为2的倍数
所以p=2
q=5
一共就这么几种情况，得出相同的结论，有且只有一组(p,q)
为p=2,q=5
其实步骤中(3)(4)可以不写出来
因为(2)已经得出结论了~~不过为了让你更明白，所以费点劲打出来了~~
希望你能明白~~
x^2+y^2=208(x-y) x,y为正整数
解：x^2+y^2=208x-208y
x^2-208x+y^2+208y=0
x^2-208x+104^2+y^2+208y+104^2=104^2*2
(x-104)^2+(y+104)^2=104^2*2
因为x,y为正整数
所以y+104>104
y+104>=105
并且（y+104)^2<=104^2*2
所以y+104<√104^2*2
即105<=y+104<=147
因为(x-104)与(y+104)同为整数
且104^2*2=21632
个位数为2
所以(x-104)^2与(y+104)^2的个位数字同为1或6
所以当同为1时，y+104=111,121,131,141
经验证x-104不为整数
所以个位数同为6
即y+104=106,116,126,136,146
经验证当y+104=136,即y=136-104=32时,(x-104)为整数
即(x-140)^2+136^2=104^2*2
(x-104)^2=56^2
x-104=±56
x1=160,x2=48
所以原方程解为
{x=160,y=32
{x=48,y=32
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