物理万有引力习题
\u9ad8\u4e00\u7269\u7406\u4e07\u6709\u5f15\u529b\u4e60\u9898\u7531\u51e0\u4f55\u5173\u7cfb R=rsin(\u03b1/2)
\u7531\u4e07\u6709\u5f15\u529b\u5b9a\u5f8b\u548c\u5706\u5468\u8fd0\u52a8\u89c4\u5f8b GMm/r^2=mv^2/r=m(2\u03c0/T)^2r
\u89e3\u51fa \u7ebf\u901f\u5ea6 v=[GMsin(\u03b1/2)/R]^(1/2)=[gR/sin(\u03b1/2)]^(1/2)
\u5468\u671f T=2\u03c0{R^3/GM[sin(\u03b1/2)]^3}^(1/2)=2\u03c0{R/g[sin(\u03b1/2)]^3}^(1/2)
\u7ecf\u5386\u201c\u5168\u65e5\u98df\u201d\u7684\u6b21\u6570 n=T0/T=T0/2\u03c0{R^3/GM[sin(\u03b1/2)]^3}^(1/2)
\u518d\u7531\u51e0\u4f55\u5173\u7cfb sin\u03b8=Rcos(\u03b1/2)/r=sin\u03b1/2 \u5176\u4e2d\u03b8\u662f\u201c\u5168\u65e5\u98df\u201d\u533a\u8fb9\u7f18\u5bf9\u5730\u5fc3\u7684\u5f20\u89d2\u3002
\u53c8\u89d2\u901f\u5ea6 \u03c9=\u03b8/t=2\u03c0/T
\u89e3\u51fa \u6bcf\u6b21\u201c\u65e5\u5168\u98df\u201d\u8fc7\u7a0b\u7684\u65f6\u95f4 t={R^3/GM[sin(\u03b1/2)]^3}^(1/2)arcsin[sin\u03b1/2]
\u516c\u5f0f\u5e26\u5165
\u5c31\u662f9\u500d\u554a
\u7b54\u6848\u662f4\u500d\u600e\u4e48\u56de\u4e8b
A. 第一宇宙速度是人造卫星环绕地球运动的速度
B. 第一宇宙速度是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度
C. 如果需要，地球同步通讯卫星可以定点在地球上空的任何一点
D. 地球同步通讯卫星的轨道可以是圆的也可以是椭圆的
3. 关于环绕地球运转的人造地球卫星，有如下几种说法，其中正确的是（ ）
A. 轨道半径越大，速度越小，周期越长
B. 轨道半径越大，速度越大，周期越短
C. 轨道半径越大，速度越大，周期越长
D. 轨道半径越小，速度越小，周期越长
4．同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星 （ ）
A．它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同值
B．它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的
C．它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值
D．它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的
5、科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定：（ ）
A.这颗行星的公转周期与地球相等 B．这颗行星的半径等于地球的半径
C.这颗行星的密度等于地球的密度 D．这颗行星上同样存在着生命
6.若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力恒量为G，则由此可求出（ ）
A.某行星的质量 B.太阳的质量
C.某行星的密度 D.太阳的密度
7.2001年10月22日，欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞，命名为MCG6－30－15，由于黑洞的强大引力，周围物质大量掉入黑洞，假定银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心匀速运转，下列哪一组数据可估算该黑洞的质量（ ）
A.地球绕太阳公转的周期和速度
B.太阳的质量和运行速度
C.太阳质量和到MCG6－30－15的距离
D.太阳运行速度和到MCG6－30－15的距离
8．两行星A、B各有一颗卫星a和b ，卫星的圆轨道接近各自行星表面，如果两行星质量之比MA：MB=p，两行星半径之比RA：RB＝q则两个卫星周期之比Ta：Tb为 ( )
A． B. C. D.
9．一宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，飞船原来的线速度是v1，周期是T1，假设在某时刻它向后喷气做加速运动后，进入新轨道做匀速圆周运动，运动的线速度是v2，周期是T2，则（ ）
A．v1＞v2，T1＞T2 B．v1＞v2，T1＜T2
C．v1＜v2，T1＞T2 D．v1＜v2，T1＜T2
10.关于开普勒行星运动的公式＝k，以下理解正确的是（ ）
A.k是一个与行星无关的常量
B.若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的长半轴为R月，周期为T月，则
C.T表示行星运动的自转周期
D.T表示行星运动的公转周期
11．地球同步卫星到地心的距离r可由r3=求出.已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则 （ ）
A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度
B．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C．a是赤道周长，b是地球自转的周期，c是同步卫星的加速度
D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
12．两个行星各有一个卫星绕其表面运行，已知两个卫星的周期之比为1∶2，两行星半径之比为2∶1 ，则（ ）
A．两行星密度之比为4∶1 B．两行星质量之比为16∶1
C．两行星表面处重力加速度之比为8∶1 D．两卫星的速率之比为4∶1
13．两颗人造卫星A、B的质量之比mA∶mB=1∶2，轨道半径之比rA∶rB=1∶3，某一时刻它们的连线通过地心，则此时它们的线速度之比vA∶vB= ，向心加速度之比aA∶aB= ，向心力之比FA∶FB= 。
14.地球绕太阳运行的半长轴为1.5×1011 m，周期为365 天；月球绕地球运行的轨道半长轴为3.82×108m，周期为27.3 天，则对于绕太阳运行的行星，R3／T2的值为______m3／s2；对于绕地球运行的物体，则R3／T2＝________ m3/s2.
15.（10分）宇航员驾驶一飞船在靠近某行星表面附近的圆形轨道上运行，已知飞船运行的周期为T，行星的平均密度为。试证明（万有引力恒量G为已知，是恒量）
17.（12分）神舟五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342km的圆形轨道。已知地球半径，地面处的重力加速度。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期的数值（保留两位有效数字）。
1.启动卫星的发动机使其速度增大，待它运动到距离地面的高度必原来大的位置，再定位使它绕地球做匀速圆周运动，成为另一轨道上的卫星，该卫星后一轨道与前一轨道相比（C）
A.速度增大 B.加速度增大 C.周期增大 D.机械能变小
3.宇宙中某星体每隔4.4×10-4 s就向地球发出一次电磁波脉冲．有人曾经乐观地认为，这是外星人向我们地球人发出的联络信号，而天文学家否定了这种观点，认为该星体上有一个能连续发出电磁波的发射源，由于星体围绕自转轴高速旋转，才使得地球上接收到的电磁波是不连续的．试估算该星体的最小密度．（结果保留两位有效数字）
解：接收电磁波脉冲的间隔时间即是该星体自转的最大周期
星体表面物体不脱离星体时满足：
G = mR()2
而M=πR3ρ
∴ρ=
代入已知数据得：ρ=7.3×1017kg/m3
4.现代观测表明，由于引力的作用，恒星有“聚焦”的特点，众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星．它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，这样就不至于由于万有引力的作用而吸引在一起．设某双星中A、B两星的质量分别为 m 和 3m，两星间距为L，在相互间万有引力的作用下，绕它们连线上的某点O转动，则O点距B星的距离是多大？它们运动的周期为多少？
解：设O点距B星的距离为x，双星运动的周期为T，由万有引力提供向心力．
对于B星：G= 3mx()2
对于A星：G= m(L-x) ()2
∴ = 3
即 x = L
∴ T =πL (3分)
5.若人造卫星绕地球作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（AD）
A.卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小
B.卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大
C.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大
D.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小
6.1998年1月发射的“月球勘探者”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布，磁场分布及元素测定等方面取得了新成果，探测器在一些环形山中发现了质量密集区，当飞到这些质量密集区时，通过地面的大口径射电望远镜观察，“月球勘探者”的轨道参数发生了微小变化，这些变化是(AD)
A .半径变小 B.半径变大
C.速率变小 D.速率变大
7.火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆.已知火卫一的周期为7小时39分.火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比(AC)
A.火卫一距火星表面较近
B.火卫二的角速度较大
C.火卫一的运动速度较大
D.火卫二的向心加速度较大
8.土星外层上有一个环.为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度V与该层到土星中心的距离R之间的关系来判断 ( AD )
A.若V ∝R，则该层是土星的一部分
B.若V2 ∝R，则该层是土星的卫星群
C.若V ∝，则该层是土星的一部分
D.若V2∝，则该层是土星的卫星群
9.我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S1的质量为（A）
A． B． C． D．
10.一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该行星上，飞船上备有以下实验器材：
A．精确秒表一个 B．已知质量为m的物体一个
C．弹簧测力计一个 D．天平一台（附砝码）
已知宇航员在绕行时和着陆后各作了一次测量，依据测量数据，可求出该行星的半径R
和行星质量M。（已知万有引力常量为G）
（1）两次测量所选用的器材分别为 、 。（用序号表示）
（2）两次测量的物理量分别是 、 。
（3）用该数据推出半径R、质量M的表达式：R= ，M= 。【答案】（每空2分）（1）A；BC （2）周期T；物体的重力F （3）
11.在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来.假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为υ0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力.已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T.火星可视为半径为r0的均匀球体.
解：设火星的质量为M；火星的一个卫星的质量为m ，火星探测器的质量为m’,在火星表面时重力加速度为g′. 有
对火星的一个卫星： GMrm2 = m( 2π )2r ①
对火星探测器： GMrm02′ = m′g′ ②
υ12 =2 g′h ③
υ = √υ12 +υ02 ④
由以上各式得 υ =√8π22h r02 r3 +υ02 ⑤
13.海王星是绕太阳运动的一颗行星，它有一颗卫星叫海卫1.若将海王星绕太阳的运动和海卫1绕海王星的运动均看作匀速圆周运动，则要计算海王星的质量，需要知道的量是（引力常量G为已知量）（A）
A.海卫1绕海王星运动的周期和半径
B.海王星绕太阳运动的周期和半径
C.海卫1绕海王星运动的周期和海卫1的质量
D.海王星绕太阳运动的周期和太阳的质量
14.我国发射的神州五号载人宇宙飞船的周期约为90min，如果把它绕地球的运动看作是匀速圆周运动，飞船的运动和人造地球同步卫星的运动相比，下列判断中正确的是（C）
A.飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径
B.飞船的运行速度小于同步卫星的运行速度
C.飞船运动的向心加速度大于同步卫星运动的向心加速度
D.飞船运动的角速度小于同步卫星运动的角速度
15.星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为第二宇宙速度.星球的第二宇宙速度v2与与第一宇宙速度v1的关系为是v2=v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的1/6.不计其它星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（C）
A. B. C. D.
17.2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射.标志着我国的航天事业发展到了一个很高的水平.飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道.已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g，求：
⑴飞船在上述圆形轨道上运行的速度v；
⑵飞船在上述圆形轨道上运行的周期T.
⑴ ⑵
18.2003年10月15日，我国利用“神州五号”飞船将一名宇航员送入太空，中国成为继俄、美之后第三个掌握载人航天技术的国家.设宇航员测出自己绕地球球心做匀速圆周运动的周期T，离地面的高度为h，地球半径为R.根据T、h、R和万有引力恒量G，宇航员不能计算出下面的哪一项（C）
A.地球的质量 B.地球的平均密度
C.飞船所需的向心力 D.飞船线速度的大小
19.1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度和地球相同.已知地球半径R=6400km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为（B）
A.400g B. C.20g D.
20.一颗人造地球卫星以速度v发射后，可绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度变为2v，则该卫星可能（C）
①绕地球做匀速圆周运动，周期变大
②绕地球运动，轨道变为椭圆
③不绕地球运动，成为绕太阳运动的人造卫星；
④挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙
A.①② B.②③ C.③④ D.①②③
21.我国已于2004年启动“嫦娥绕月工程”，2007年之前将发射绕月飞行的飞船.已知月球半径R=1.74×106m，月球表面的重力加速度g=1.62m/s2.如果飞船关闭发动机后绕月做匀速圆周运动，距离月球表面的高度h=2.6×105m，求飞船速度的大小.
解:在月球表面 ①
飞船在轨道上运行时 ②
由①②式解得: ③
代入已知数据得:v=1.57×103m/s
22.同步卫星A的运行速率为v1，向心加速度为a1，运转周期为T1；放在地球赤道上的物体B随地球自转的线速度为v2，向心加速度为a2，运转周期为T2；在赤道平面上空做匀速圆周运动的近地卫星C的速率为v3，向心加速度为a3，运转周期为T3.比较上述各量的大小得（AD）
A.T1=T2>T3 B.v3>v2>v1
C.a1<a2=a3 D.a3>a1>a2
23.已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
同步卫星绕地球作圆周运动，由得
⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由.如不正确，请给出正确的解法和结果.
不正确.应为，得
⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。
由，得 或由得
24.已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍.不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出 （C）
A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8
B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9∶4
C.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为 8∶9
D.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为 81∶4
25.最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 （AD）
A.恒星质量与太阳质量之比
B.恒星密度与太阳密度之比
C.行星质量与地球质量之比
D.行星运行速度与地球运行速度之比
26.把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周.由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（CD）
A.火星和地球的质量之比
B.火星和太阳的质量之比
C.火星和地球到太阳的距离之比
D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比
27.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T.仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（BD）
A.月球的质量 B.地球的质量
C.地球的半径 D.月球绕地球运行速度的大小
28.地球同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2,，地球半径为R，则（B）
① ＝ ② = ③= ④＝
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
29.地球赤道上的物体重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的多少倍？
解:赤道上的物体随地球自转时的向心力是万有引力和支持力的合力提供,即:
①
其中N=mg ②
要使赤道上的物体飘起来,即变为近地卫星,应有N=0,于是:
③
由①、②、③得:
30.我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知万有引力常量为G.因此可求出S2的质量为（D）
A. B. C. D.
万有引力练习（二）
一、选择题(每题4分，共40分)
1．人造卫星绕地球做圆周运动时，卫星离地面的高度越高， （ ）
A．速度越大 B．角速度越大 C．周期越大 D．向心加速度越大
2．人造卫星在太空绕地球运行中，若天线偶然折断，天线将 （ ）
A．继续和卫星一起沿轨道运行
B．做平抛运动，落向地球
C．由于惯性，沿轨道切线方向做匀速直线运动，远离地球
D．做自由落体运动，落向地球
3．人造卫星离地面距离等于地球半径R，卫星以速度v沿圆轨道运动，设地面的重力加速度
为g，则有 （ ）
A．v = B．v = C．v = D．v=
4．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R，线速度为v，周期为T，若要使它周
期变为2T，可能的方法是 （ ）
A．R不变，使线速度变为v/2 B．v不变，使轨道半径变为2R
C．轨道半径变为 D．无法实现
5．科学家设想在太空设立太阳能卫星电站，先用硅太阳能电池将太阳能转化成电能，再利
用微波—电能转换装置，将电能转换成微波向地面发送。卫星电站的最佳位置是在1100km
的赤道上空。此卫星电站的运行速度为 （ ）
A．3.1km/s B．7.2km/s C．7.9km/s D．11.2km/s
6．人造卫星在运行中因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道半径会慢慢减小，
在半径缓慢变化过程中，卫星的运动还可近似当作匀速圆周运动。当它在较大的轨道半径r1上时运行线速度为v1，周期为T1，后来在较小的轨道半径r2上时运行线速度为v2，周期为T2，则它们的关系是
A．v1＜v2，T1＜T2 B．v1＞v2，T1＞T2 C．v1＜v2，T1＞T2 D．v1＞v2，T1＜T2
二、混编题（每题有一个或几个正确选项）
7．关于第一宇宙速度，下列说法正确的是 （ ）
A．它是人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动的最大速度
B．它是人造地球卫星在圆形轨道上的最小运行速度
C．它是能使卫星绕地球运行的最小发射速度
D．它是人造卫星绕地球作椭圆轨道运行时在近地点的速度
8．下列关于地球同步卫星的说法正确的是 （ ）
A．它的周期与地球自转同步，但高度和速度可以选择，高度增大，速度减小
B．它的周期、高度、速度都是一定的
C．我们国家发射的同步通讯卫星定点在北京上空
D．我国发射的同步通讯卫星也定点在赤道上空
9．人造卫星绕地球作匀速圆周运动，关于它运转的轨道平面，下列情况可能的有（ ）
A．运转轨道平面与赤道平面是重合的
B．轨道平面与某经线所在平面是重合的
C．轨道平面与赤道以外的某纬线所在平面是重合的
D．轨道平面通过地球球心，但平面与任一纬线和经线均不重合
10．已知地球的质量为M，月球的质量为m，月球绕地球的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则月球绕地球运行轨道处的重力加速度等于 （ ）
A． B． C．G D．
三、填空题(每题5分，共25分)
11．已知第一宇宙速度为7.9km/s，相应的卫星周期约84分钟，则实际任意一颗圆形轨道的人造卫星的线速度范围为________，周期范围为______________。
12．在圆轨道上运行的质量为m的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R，地面上的重力加速度为g，则卫星运动的线速度为______________，加速度为______________，周期为_________________。角速度为__________。
13．一颗以华人物理学家“吴健雄”命名的小行星，半径约为16㎞，密度与地球相近。若在此小行星上发射一颗绕其表面运行的人造卫星，它的发射速度约为_____________。
14．已知地球质量是月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍，地球上发射近地卫星的环绕速度为7.9㎞/s，那么在月球上发射一艘靠近月球表面运行的宇宙飞船，它的环绕速度为___________。
15．为了充分利用地球自转的速度，人造卫星发射时，火箭都是从 向_______ （填东、南、西、北）发射。考虑这个因素，火箭发射场应建在纬度较 （填高或低）的地方较好。
参考答案
1. .D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7AC 8BD 8ABD 10BD
11．≤7.9km/s，≥8（4分） 12． 、g/4、 、 13．20m/s
14．1.75m/s 15．西、东、低
16． （4分）
绛旓細绛旀閫塁
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