根据定义证明无穷小的例题
答：因为sin1/x的绝对值小于等于1 所以xsin1/x的绝对值 小于等于x的绝对值 而x的绝对值是趋于0的 所以xsin1/x也是趋于0的 当x趋向于0时,sin(1/x)是一个有界量,而x是无穷小量,无穷小量与有界量的积仍是无穷小量,所以 lim(x-->0)xsin(1/x)=0 ...
答：[(nn+n)/2]/nnn=(nn+n)/2nnn=(n+1)/2nn=1/2n+1/2nn 当n趋于无穷大的时候，1/2n和1/2nn都趋于无穷小，他们的和也趋于无穷小，即证。（注：nn表示n的平方，nnn表示n的立方）
答：极限与无穷小的关系是直接根据极限的定义来做的。还可以根据极限的性质之一：和差的极限等于极限的和差来做。根据极限的性质，如果f（x）和g（x）都有极限。那么lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x）lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）。根据这个性质，很容易就证明这个命题...
答：任给ε>0，因为ε可任意小，所以不妨设ε<1 当|x|<ε/2时，1/2<1+x<2 所以|y|<2|x|<ε 所以x趋于0时，y趋于0
答：(ε <1), 存在 δ>0, 当 0< |x-x0 | < δ 时，恒有 | A(x) | <ε 及 | B(x) |<ε 于是 | A(x) B(x) | <= | A(x)| * | B(x) | < ε ^2 < ε 即证 lim [ A(x) B(x), x->x0 ] = 0 即当 x->x0 时 A(x) B(x) 是无穷小量。
答：在讨论无穷小量的时候这样一般够用了 如果是比较细致的问题则可以处理成n^4+5n^3+2n^2+6n+1<n^4+6n^3 (n足够大)，主导项最好不要动 虽然用定义证明极限的场合不多，但掌握上面提到的技术总是有益的，至少简化问题之后再用极限运算律或者其它定理会方便 另外要记住很多复杂的问题可以先归结到...
答：如下图所示，这个证明不能直接用洛必达定则，因为f(x)没有说可导。
答：根据数学定义，一个数列 {a_n} 为无穷小量，当且仅当对于任意的正实数 ε，总存在正整数 N，使得当 n > N 时，|a_n| < ε。另一方面，一个数列 {a_n} 为有界量，当且仅当存在正实数 M，使得对于所有的正整数 n，有 |a_n| < M。所以，要证明任何无穷小量也都是有界量，需要证明...
答：证明:因为sinx∈[-1,1],是有界变量 1/根号x在x→无穷是无穷小 根据定义 有界变量乘无穷小仍为无穷小 所以lim(x→无穷)sinx/根号x=0
答：(n>N)也就是说n>N时，|a(n)|是个单调递减数列，且有下界0，因此 |a(n)|必有极限.于是根据： lim |a(n+1|/|a(n)| = c ==> lim |a(n)| ＝0 (如果不为0，则会得出c=1，与题设c<1矛盾)由 lim |a(n)| ＝0 ==> lim a(n) ＝ 0 即a(n)为无穷小列。
网友评论：
人魏19486754676：
用定义证明无穷小有点不明白,我举了例子,希望能得到大侠的帮助{(n+1)/(n^2+1)}任意一个ε(0 -
54561闾净
：[答案] 无穷小是指极限为0,而极限的定义,在这里是用ε-N语言写出来的. 即这里的n→∞时,(n+1)/(n^2+1)→0, 对任意一个ε(是个任意小,当然可以如你的假定0我们需要|(n+1)/(n^2+1)-0|对(n+1)/(n^2+1)放缩,有(n+1)/(n^2+1)2/ε. ...
人魏19486754676：
注意:根据定义证明!初高中水平勿进!根据定义证明:y=xsin1/x 当 x→0时为无穷小. -
54561闾净
：[答案] 任意eps>0,取delta=eps 则 任意x,只要x的绝对值
人魏19486754676：
用定义证明无穷小与无穷大用定义证明:(1)当x趋向于2时.(x - 2)/x为无穷小;(2)当x趋向与0时,(x - 2)/x为无穷大. -
54561闾净
：[答案] (1)当分子接近0时,分母不为0,就趋于无穷小 (2-2)/2 (2)当分母接近0时,分母不为0. (0-2)/0 这是假设,实际分母不能为0. 当0/2时就趋于无穷小,那么0/2的倒数呢.就是趋于无穷大.因为无穷小与无穷大是相反的.
人魏19486754676：
用定义证明y=x - 1为当x趋近于1时的无穷小,要求要用标准的格式来证明,越详细越好,初学高等数学,菜鸟水平 -
54561闾净
：[答案] 设x=1+⊿t,则当x→1时,⊿t→0 y=x-1=1+⊿t-1=⊿t 于是当x→1时,y趋于0
人魏19486754676：
根据定义证明:y=xsin1/x 当 x→0时为无穷小.注意:根据定义证明! -
54561闾净
：[答案] 无穷小与有界函数的乘积还是无穷小 因为sin1/x的绝对值小于等于1 所以xsin1/x的绝对值 小于等于x的绝对值 而x的绝对值是趋于0的 所以xsin1/x也是趋于0的 证完
人魏19486754676：
证明数列是无穷小数列:{ [log(a)n]/(n^k) } (a>1,k>=1) (用定义证明) -
54561闾净
：[答案] 用函数f(x)=log(a)x-x可证明:log(a)n1/ε,1/N^(k-1)N时, log(a)n/(n^k)=[log(a)n/n]*[1/n^(k-1)]
人魏19486754676：
用定义证明一个函数为无穷小lim x/1+x =0 当x→0时 用定义证明 -
54561闾净
：[答案] 证明:对任意的ε>0,令│x│
人魏19486754676：
用定义证明y=xsin(1/x)为当x→0时的无穷小高数课本中的一道习题,请大家赐教请一定用定义来证明 -
54561闾净
：[答案] 无论sin什么都≤1 又≥-1 所以-x≤xsin(1/x)≤x y=x和y=-x 在x→0的时候都=0 (这个不用我教你证明吧) 所以xsin(1/x)在x→0的时候也=0
人魏19486754676：
用定义证明无穷小有点不明白,我举了例子,希望能得到大侠的帮助 -
54561闾净
： 无穷小是指极限为0,而极限的定义,在这里是用ε-N语言写出来的. 即这里的n→∞时,(n+1)/(n^2+1)→0, 对任意一个ε(是个任意小,当然可以如你的假定0<2,也可以假定0<1或0<1/2等等都是对的,有时那样选取只是为了方便解题的说明), 我们需要|(n+1)/(n^2+1)-0|对(n+1)/(n^2+1)放缩,有(n+1)/(n^2+1)<(n+1)/n^2<(n+n)/n^2=2/n2/ε. 取N=[2/ε],这样就形成了完整的极限定义: 对任意一个ε>0,存在N=[2/ε],只要当n>N,就有|(n+1)/(n^2+1)-0| 过程并不麻烦,而且很有逻辑,多做一些练习就会熟悉了.
人魏19486754676：
用无穷小定义证明:当x趋向于3时,f(x)=(x - 3)/(x+1) 是无穷小 (用无穷小定义证明!) -
54561闾净
：[答案] 对任意ε>0.可以找到δ=min{1,ε},当|x-3|
