高数无穷小量方面的证明题 一道关于高数无穷小量的题目
\u9ad8\u6570\u8bc1\u660e\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u9898\u76ee\uff0c\u8bf7\u5927\u795e\u5e2e\u5e2e\u5fd9\u3002A\u662fB\u7684\u66f4\u9ad8\u9636\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u5c31\u662f\u8981\u8bf4\u660e
\u6781\u9650lim(A/B)\u7b49\u4e8e0\u3002
\u5f53b>1\u65f6\uff0c\u5206\u5b50\u8d8b\u5411\u4e8e0\uff0c\u5206\u6bcd\u8d8b\u5411\u4e8e2\uff0c\u539f\u5f0f\u8d8b\u5411\u4e8e0/2=0
\u5f53b=1\u65f6\uff0c\u5206\u5b50\u8d8b\u5411\u4e8e1,\u5206\u6bcd\u8d8b\u5411\u4e8e2\uff0c\u539f\u5f0f\u8d8b\u5411\u4e8e1/2
\u5f530<b<1\u65f6\uff0c\u5206\u5b50\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u7a77\uff0c\u5206\u6bcd\u8d8b\u5411\u4e8e2\uff0c\u539f\u5f0f\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u7a77
\u5f53b=0\u65f6\uff0c\u5206\u5b50\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u7a77\uff0c\u5206\u6bcd\u8d8b\u5411\u4e8e\u6839\u53f72+1\uff0c\u539f\u5f0f\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u7a77
\u5f53b<0\u65f6,\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u5747\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u7a77\uff0c\u56e0\u4e3ab-1<b/2,\u6240\u4ee5\u5206\u5b50\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u7a77\u7684\u9636\u6570\u66f4\u5927\uff0c\u539f\u5f0f\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u7a77
\u7efc\u4e0a\uff0c\u53ea\u6709b>1\u65f6\uff0c\u539f\u5f0f\u8d8b\u5411\u4e8e0
如下图所示,这个证明不能直接用洛必达定则,因为f(x)没有说可导。
直接用罗比达法则
绛旓細涓昏鏄痻^n-1鐨勫睍寮鍏紡锛屽涓嬪浘
绛旓細鏃犵┓灏鏄釜鍙橀噺銆傚氨鏄竴涓嚱鏁帮紝褰撹嚜鍙橀噺鍦ㄦ煇涓偣鐨勯偦鍩熷彉鍖栨椂锛屽嚱鏁拌秼浜0. 鏍规嵁鏋侀檺鐨勎-未瀹氫箟鏈墊f(x)-0|<蔚.瀹氱悊1.1蹇呰鎬璇佹槑鐨勬椂鍊欙紝鐢辨潯浠跺嚱鏁版瀬闄愪负A鍜屽嚱鏁版瀬闄愇-未瀹氫箟鍙緱褰撲换鎰徫>0涓旀湁涓涓嚜鍙橀噺鍖洪棿鍗虫墍璋撶殑鏌愮偣鐨勫幓蹇冮偦鍩焲f(x)-A|<蔚銆俧(x) = A+伪,鍒櫸 = f(x)...
绛旓細銆愬垎鏋愩戝綋x鈫0鏃讹紝ln锛1+x锛墌 x 锛宔^x - 1 ~ x 娉ㄦ剰锛氬鏋渪涓嶆槸瓒嬩簬0锛屽垯涓嶆垚绔嬨傘愯В绛斻戝綋尾h锛坸锛夆啋0鏃讹紝瀵筟 1+尾h锛坸锛塢^伪 -1 鍙栧鏁 e^伪ln[ 1+尾h锛坸锛塢 - 1 鏍规嵁褰搙鈫0鏃讹紝ln锛1+x锛墌 x 锛宔^x - 1 ~ x 鎵浠 1+尾h锛坸锛塢^伪 -...
绛旓細1-cosx=2锛坰inx/2锛²,sinx/2涓巟/2涓虹瓑浠鏃犵┓灏锛屾墍浠2锛坰inx/2锛²涓巟²/2鏄瓑浠锋棤绌峰皬
绛旓細鍥犱负姣斿鎴戜滑鐭ラ亾lim(a_n + b_n) = lim a_n + lim b_n锛堜袱涓暟鍒楃殑鍜岀殑鏋侀檺鏄畠浠瀬闄愮殑鍜岋級锛岃繖鍛婅瘔鎴戜滑涓や釜鏃犵┓灏忕殑鍜屼粛鏄棤绌峰皬锛屽洜姝や换浣曟湁闄愪釜鏃犵┓灏忕殑鍜岄兘鏄棤绌峰皬锛堣涓ユ牸璇寸殑璇濓紝鍙互鐢ㄥ綊绾虫硶锛屽厛鎶婂墠涓や釜鍔犺捣鏉ワ紝鍐嶅姞绗笁涓紝涓涓竴涓姞銆傛湁闄愭鍐呭姞瀹岋級銆備絾鏄鏃犻檺涓殑鍜...
绛旓細杩欐槸涔︿笂璇惧悗鐨勫師棰樺晩锛侊紒鏉′欢寰楁槸x瓒嬩簬0鐨勬儏鍐典笅
绛旓細涓よ呬綔鍟嗭紝娲涘繀杈炬硶鍒欙紝銆俵im (e^x-1)/x=lim e^x/1=1 璇佹瘯
绛旓細lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 鍒嗗瓙鍒嗘瘝鍒嗗埆姹傚)=lim(x->0) 2sinx/(2x)=1 => 1- cosx ~ x^2/2
绛旓細涓ユ牸鐨勮锛岄亣鍒板皬o鐨勫湴鏂瑰簲鐞嗚В涓洪泦鍚堢殑杩愮畻锛屾瘮濡俹(f(x))+o(f(x))=o(f(x))锛岃〃绀轰负 浠庣涓涓泦鍚堜腑浠诲彇涓涓厓绱狅紝璁颁负g1(x)锛屽嵆lim g1(x)/f(x)=0;浠庣浜屼釜闆嗗悎涓换鍙栦竴涓厓绱狅紝璁颁负g2(x)锛屽嵆lim g2(x)/f(x)=0锛涘垯g1(x)+g2(x)灞炰簬绗笁涓泦鍚堬紝鍗 蹇呮湁lim (g...
绛旓細鍒嗗紡涓紝鍒嗗瓙鍒嗘瘝鍚岄櫎浠ユ渶楂樻锛屽寲鏃犵┓澶т负鏃犵┓灏璁$畻锛屾棤绌峰皬鐩存帴浠0浠e叆锛涙棤绌峰ぇ鏍瑰紡鍑忓幓鏃犵┓澶ф牴寮忔椂锛屽垎瀛愭湁鐞嗗寲锛岀劧鍚庤繍鐢ㄤ笂杩颁腑鐨勬柟娉曘佽繍鐢ㄦ礇蹇呰揪娉曞垯锛屼絾鏄礇蹇呰揪娉曞垯鐨勮繍鐢ㄦ潯浠舵槸鍖栨垚鏃犵┓澶ф瘮鏃犵┓澶э紝鎴栨棤绌峰皬姣旀棤绌峰皬锛屽垎瀛愬垎姣嶈繕蹇呴』鏄繛缁彲瀵煎嚱鏁般楂樻暟璇佹槑鐨鎶宸э細浠庣粨璁哄嚭鍙戝姹傝瘉鏄庢柟娉曘