周长相等的矩形和正方形，为什么正方形面积最大？ 公式证明：周长相等的矩形和正方形，为什么正方形面积最大？
\u5468\u957f\u76f8\u7b49\u7684\u77e9\u5f62\u548c\u6b63\u65b9\u5f62\uff0c\u4e3a\u4ec0\u4e48\u6b63\u65b9\u5f62\u9762\u79ef\u6700\u5927\u89e3\u6790\uff1a\u8bbe\u5468\u957f\u4e3aC\uff0c
\u5219\u957f\u65b9\u5f62\u7684\u957f\u4e0e\u5bbd\u7684\u548c\u4e3aC/2\uff0c\u6b63\u65b9\u5f62\u7684\u8fb9\u957f\u4e3aC/4\uff0c
\u957f\u65b9\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u4e3a\u957f\u4e58\u5bbd\uff0c \u6b63\u65b9\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u4e3aC^2/16\uff0c
\u7531\u57fa\u672c\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff1a\u957f\u4e58\u5bbd<=(\u957f+\u5bbd)^2/4
=[(C/2)^2]/4
=C^2/16
\u5373\uff1a\u957f\u65b9\u5f62\u7684\u53f3\u79ef<=\u6b63\u65b9\u5f62\u7684\u9762\u79ef\uff0c
\u6240\u4ee5 \u5468\u957f\u76f8\u7b49\u7684\u77e9\u5f62\u548c\u6b63\u65b9\u5f62\uff0c\u6b63\u65b9\u5f62\u9762\u79ef\u6700\u5927
\u4ee4\u957f\u65b9\u5f62\u7684\u8fb9\u957f\u4e3aa\uff0cb\uff0c\u5219\u5468\u957f=2a+2b
\u6b63\u65b9\u5f62\u5468\u957f=\u957f\u65b9\u5f62\u5468\u957f=2a+2b
\u6b63\u65b9\u5f62\u8fb9\u957f=\uff082a+2b)/4=(a+b)/2
\u957f\u65b9\u5f62\u9762\u79ef\uff1aab
\u6b63\u65b9\u5f62\u9762\u79ef = {(a+b)/2}^2 = 1/4(a^2+b^2+2ab) = 1/4 { (a-b)^2+2ab+2qb } = 1/4(a-b)^2 + ab
\u957f\u65b9\u5f62\u7684\u957f\u2260\u5bbd
\u2234a-b\u22600
\u2234\uff08a-b)^2\uff1e0
\u2234\u6b63\u65b9\u5f62\u9762\u79ef = 1/4(a-b)^2 + ab \uff1e ab = \u957f\u65b9\u5f62\u9762\u79ef
圆的面积最大。
长方形的面积为：长×宽、周长为2×（长+宽）；正方形的面积为：边长的平方、周长为4×变长；圆的面积为π×半径的平方、周长为2π×半径。
如此一来。现设周长为单位1，那么长方形的话，长+宽=1/2，如果长是1/3，那么宽则是1/6，面积为1/18，而正方形的话，变长为1/4，面积为1/16。可以证明相同周长下，正方形的面积总会比长方形的面积大。
最后比较圆与正方形的面积，同样是利用单位1。圆的半径是1/（2π），那么面积是1/（4π），正方形的面积上面已算为1/16，因为知道4π小于16，作为分母，因此1/（4π）大于1/16。
简介
设长方形的长宽分别为A，B；正方形边长为C。
则A+B=2C，且A≠B。
两边同时平方得：
4CC=AA+4AB+BB-2AB。
整理得：
4CC-4AB=AA+BB-2AB=(A-B)(A-B)。
因为(A-B)(A-B)≥0。
即4CC-4AB≥0。
CC-AB≥0。
因为A≠B，则CC-AB>0。
而CC为正方形的面积，AB为长方形的面积。
因此正方形的面积大于长方形的面积。
具体见下图，其实用简单的数字相乘也可以得出同样的结论，比如说2x2＞1x3，15x15＞14x16等等。
这个其实只要记住一点就行了，就是：
当两数的和一定的情况下，两数差越小，它们的积越大。
如果一定要证明，这里引用作业帮里面的一个解答。
用平方差公式证明：
设正方形边长为m，两邻边的和为2m，正方形面积为m^2
。
变为长方形时，边长的关系为m+n和m-n
，长方形的面积为(m+n)(m-n)=m^2-n^2
。
可见，长方形的面积总是比正方形面积小n^2
。
所以，在周长一定的情况下，正方形面积最大。
一个四边形，如果长与宽的数字相差越大，这个四边形的面积就越小，如果长与宽的数字相差越小，这个四边形的面积就越大，由于正方形的边长一样大，所以周长相等的四边图形正方形的面积是最大的，因为我曾经计算过，所以我了解，希望你喜欢。
设矩形长为a,宽为b,则它的面积为ab.
正方形的周长与上述矩形相等，则边长为(a+b)/2,其面积为[(a+b)/2]^2,
[(a+b)/2]^2-ab=(a-b)^2/4≥0,
当且仅当a=b时取等号，
所以周长相等的长方形中，正方形的面积最大。
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