初中待定系数法的应用加简单的列题速度 初中数学大题技巧
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甲内容提要
1. 多项式恒等的定义：设f(x) 和g(x)是含相同变量x的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x在取值范围内 ，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的.
符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式. 例如：
（x+3）2=x2+6x+9, 5x2－6x+1=(5x－1)(x－1),
x3－39x－70=(x+2)(x+5)(x－7).
都是恒等式.
根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值. 例如：
已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x－2).
求：①a+b+c ； ②a－b+c.
解：①以x=1， 代入等式的左右两边，得a+b+c＝－4.
②以x=－1，代入等式的左右两边，得a－b+c＝0.
2. 恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.
即 如果 a0xn+a1xn－1+……+an－1x+an= b0xn+b1xn－1+……+bn－1x+bn
那么 a0=b0 ， a1=b1， …… ， an－1=bn－1 ， an=bn.
上例中又解： ∵ax2+bx+c=2x2－2x－4.
∴a=2, b=－2, c=－4.
∴a+b+c＝－4， a－b+c＝0.
3. 待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.
乙例题
例1. 已知：
求：A，B，C的值.
解：去分母，得
x2－x+2=A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).
根据恒等式定义（选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值），
当x=0时， 2＝－6A. ∴A＝－ .
当x=3时， 8＝15B. ∴B＝ .
当x=－2时， 8＝10C. ∴C＝ .
本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）.
例2. 把多项式x3－x2+2x+2表示为关于x－1的降幂排列形式.
解：用待定系数法：
设x3－x2+2x+2=a(x－1)3+b(x－1)2+c(x－1)+d
把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），
得 x3－x2+2x+2=ax3－3ax2+3ax－a
+bx2－2bx+b
+cx－c
+d
用恒等式的性质，比较同类项系数，
得 解这个方程组，得
∴x3－x2+2x+2=(x－1)3+2(x－1)2+3(x－1)+4.
本题也可用换元法：
设x－1=y, 那么x=y+1.
把左边关于x的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y换成x －1.
例3. 已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.
求： a和b的值.
解：设4x4+ax3+13x2+bx+1＝（2x2+mx±1）2 （设待定的系数，要尽可能少.）
右边展开，合并同类项，得
4x4+ax3+13x2+bx+1＝4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1.
比较左右两边同类项系数，得
方程组 ； 或 .
解得 .
例4. 推导一元三次方程根与系数的关系.
解：设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1, x2, x3.
原方程化为x3+ .
∵x1, x2, x3是方程的三个根.
∴x3+ (x－x1) (x－x2) (x－x3).
把右边展开，合并同类项，得
x3+ =x3－( x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x－x1x2x3.
比较左右同类项的系数，得
一元三次方程根与系数的关系是：
x1+x2+x3=－ ， x1x2+x1x3+x2x3＝ ， x1x2x3＝－ .
例5. 已知：x3+px+q 能被（x－a）2 整除.
求证：4p3+27q2=0.
证明：设x3+px+q＝（x－a）2（x+b）.
x3+px+q=x3+(b－2a)x2+(a2－2ab)x+a2b.
由①得b=2a， 代入②和③得
∴4p3+27q2＝4（－3a2）3+27(2a3)2
=4×（－27a6）+27×（4a6）=0. （证毕）.
例6. 已知：f (x)=x2+bx+c是g (x)=x4 +6x2＋25的因式，也是q (x)=3x4+4x2+28x+5
的因式.
求：f (1)的值.
解：∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.
为了消去四次项，设g (x)－q (x)＝kf (x), (k为正整数).
即14x2－28x+70＝k (x2+bx+c)
14（x2－2x+5）＝k (x2+bx+c)
∴k=14, b=－2, c=5.
即f (x)=x2－2x+5.
∴f (1)=4 .
例7. 用待定系数法，求（x+y）5 的展开式
解：∵展开式是五次齐次对称式，
∴可设（x+y）5＝a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3) (a, b, c是待定系数.)
当 x=1,y=0时， 得a=1；
当 x=1,y=1时， 得2a+2b+2c=32，即a+b+c=16
当 x=－1,y=2时， 得31a－14b+4c=1.
得方程组
解方程组，得
∴（x+y）5＝x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
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