设随机变量X与Y相互独立,且X~N(1,22),Y~N(0,1),求函数Z=2X-Y+3的概率密度。
【答案】:正态分布的线性组合.因为X,Y相互独立,且都服从正态分布,所以它们的线性组合W=2X-Y服从正态分布,从而函数Z=W+3也服从正态分布.计算数字特征,得
E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=5,D(Z)=4D(X)+D(Y)=17.
于是,求得函数z的概率密度。
求二维随机变量的函数的分布,一般需要从分布函数出发,转到二重积分的计算.然而对于正态分布,我们知道更多,于是处理方法也更多.这里没有计算积分.先用定理知道函数仍服从正态分布,再用公式计算数字特征,函数的分布就得到了。
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绛旓細銆愮瓟妗堛戯細E(X)=1,D(X)=1;E(Y)=-2,D(Y)=1.鍥犳E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=2脳1+(-2)=0,D(2X+Y)=22D(X)+D(Y)=4脳1+1=5.
绛旓細E(X+Y) = E(X)+E(Y) = -1+1 =0 D(X+Y) = D(X)+D(Y) = 1+3 = 4 X+Y ~ N (0, 4)P(X+Y>2)=P(Z > (2-0)/2 )=P(Z >1)
绛旓細闅忔満鍙橀噺鐩镐簰鐙珛鍙互鎺ㄥ嚭绾挎т笉鐩稿叧锛岃岀嚎鎬т笉鐩稿叧涓嶈兘鎺ㄥ嚭闅忔満鍙橀噺鐩镐簰鐙珛锛鎵浠ラ殢鏈哄彉閲忕嚎鎬т笉鐩稿叧鏄浉浜掔嫭绔嬬殑蹇呰涓嶅厖鍒嗘潯浠躲傚鏋滆〃绀鸿瘯楠岀粨鏋滅殑鍙橀噺x锛屽叾鍙兘鍙栧间负鏌愯寖鍥村唴鐨勪换浣曟暟鍊锛屼笖x鍦ㄥ叾鍙栧艰寖鍥村唴鐨勪换涓鍖洪棿涓彇鍊兼椂锛屽叾姒傜巼鏄‘瀹氱殑锛屽垯绉皒涓鸿繛缁瀷闅忔満鍙橀噺鏁寸悊銆傚紩鍏ラ殢鏈哄彉閲忕殑姒傚康鍚庯紝瀵...
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