数学因式分解的12种方法 高等数学 数学 因式分解的方法
\u6570\u5b66\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\uff0c\u9047\u5230\u8fd9\u79cd\u6570\u5b57\u8f83\u5927\u7684\uff0c\u6709\u4ec0\u4e48\u7b80\u4fbf\u65b9\u6cd5\u53ef\u4ee5\u89e3\u51fa\u6765\u5417\uff1f\u2460\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u662f\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u6052\u7b49\u53d8\u5f62\uff0c\u8981\u6c42\u7b49\u5f0f\u5de6\u8fb9\u5fc5\u987b\u662f\u591a\u9879\u5f0f
\u2461\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u7684\u7ed3\u679c\u5fc5\u987b\u662f\u4ee5\u4e58\u79ef\u7684\u5f62\u5f0f\u8868\u793a
\u2462\u6bcf\u4e2a\u56e0\u5f0f\u5fc5\u987b\u662f\u6574\u5f0f\uff0c\u4e14\u6bcf\u4e2a\u56e0\u5f0f\u7684\u6b21\u6570\u90fd\u5fc5\u987b\u4f4e\u4e8e\u539f\u6765\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u6b21\u6570
\u2463\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u5fc5\u987b\u5206\u89e3\u5230\u6bcf\u4e2a\u591a\u9879\u5f0f\u56e0\u5f0f\u90fd\u4e0d\u80fd\u518d\u5206\u89e3\u4e3a\u6b62\u3002
\u6ce8\uff1a\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u524d\u5148\u8981\u627e\u5230\u516c\u56e0\u5f0f\uff0c\u5728\u786e\u5b9a\u516c\u56e0\u5f0f\u524d\uff0c\u5e94\u4ece\u7cfb\u6570\u548c\u56e0\u5f0f\u4e24\u4e2a\u65b9\u9762\u8003\u8651\u3002
\u5206\u89e3\u6b65\u9aa4\uff1a
\u2460\u5982\u679c\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u5404\u9879\u6709\u516c\u56e0\u5f0f\uff0c\u90a3\u4e48\u5148\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\uff1b
\u2461\u5982\u679c\u5404\u9879\u6ca1\u6709\u516c\u56e0\u5f0f\uff0c\u90a3\u4e48\u53ef\u5c1d\u8bd5\u8fd0\u7528\u516c\u5f0f\u3001\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\u6765\u5206\u89e3\uff1b
\u2462\u5982\u679c\u7528\u4e0a\u8ff0\u65b9\u6cd5\u4e0d\u80fd\u5206\u89e3\uff0c\u90a3\u4e48\u53ef\u4ee5\u5c1d\u8bd5\u7528\u5206\u7ec4\u3001\u62c6\u9879\u3001\u8865\u9879\u6cd5\u6765\u5206\u89e3
\u2463\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\uff0c\u5fc5\u987b\u8fdb\u884c\u5230\u6bcf\u4e00\u4e2a\u591a\u9879\u5f0f\u56e0\u5f0f\u90fd\u4e0d\u80fd\u518d\u5206\u89e3\u4e3a\u6b62\u3002
\u4e5f\u53ef\u4ee5\u7528\u4e00\u53e5\u8bdd\u6765\u6982\u62ec\uff1a\u201c\u5148\u770b\u6709\u65e0\u516c\u56e0\u5f0f\uff0c\u518d\u770b\u80fd\u5426\u5957\u516c\u5f0f\u3002\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u8bd5\u4e00\u8bd5\uff0c\u5206\u7ec4\u5206\u89e3\u8981\u76f8\u5bf9\u5408\u9002\u3002\u201d
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u4e3b\u8981\u65b9\u6cd5\uff1a
1\u3001\u63d0\u53d6\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\uff1a
\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u5404\u9879\u6709\u516c\u56e0\u5f0f\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a\u8fd9\u4e2a\u516c\u56e0\u5f0f\u63d0\u51fa\u6765\uff0c\u4ece\u800c\u5c06\u591a\u9879\u5f0f\u5316\u6210\u4e24\u4e2a\u56e0\u5f0f\u4e58\u79ef\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u8fd9\u79cd\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u7684\u65b9\u6cd5\u53eb\u505a\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\u3002
\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\u57fa\u672c\u6b65\u9aa4\uff1a
\uff081\uff09\u627e\u51fa\u516c\u56e0\u5f0f
\uff082\uff09\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\u5e76\u786e\u5b9a\u53e6\u4e00\u4e2a\u56e0\u5f0f\uff1a
\u2460\u7b2c\u4e00\u6b65\u627e\u516c\u56e0\u5f0f\u53ef\u6309\u7167\u786e\u5b9a\u516c\u56e0\u5f0f\u7684\u65b9\u6cd5\u5148\u786e\u5b9a\u7cfb\u6570\u518d\u786e\u5b9a\u5b57\u6bcd
\u2461\u7b2c\u4e8c\u6b65\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\u5e76\u786e\u5b9a\u53e6\u4e00\u4e2a\u56e0\u5f0f\uff0c\u6ce8\u610f\u8981\u786e\u5b9a\u53e6\u4e00\u4e2a\u56e0\u5f0f\uff0c\u53ef\u7528\u539f\u591a\u9879\u5f0f\u9664\u4ee5\u516c\u56e0\u5f0f\uff0c\u6240\u5f97\u7684\u5546\u5373\u662f\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\u540e\u5269\u4e0b\u7684\u4e00\u4e2a\u56e0\u5f0f\uff0c\u4e5f\u53ef\u7528\u516c\u56e0\u5f0f\u5206\u522b\u9664\u53bb\u539f\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u6bcf\u4e00\u9879\uff0c\u6c42\u7684\u5269\u4e0b\u7684\u53e6\u4e00\u4e2a\u56e0\u5f0f
\u2462\u63d0\u5b8c\u516c\u56e0\u5f0f\u540e\uff0c\u53e6\u4e00\u56e0\u5f0f\u7684\u9879\u6570\u4e0e\u539f\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u9879\u6570\u76f8\u540c\u3002
2\u3001\u516c\u5f0f\u6cd5\uff1a
\u628a\u4e58\u6cd5\u516c\u5f0f\u7684\u5e73\u65b9\u5dee\u516c\u5f0f\u548c\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u516c\u5f0f\u53cd\u8fc7\u6765\uff0c\u5f97\u5230\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u7684\u516c\u5f0f\uff1a
\u5e73\u65b9\u5dee\u516c\u5f0f\uff1aa2-b2=\uff08a+b\uff09\u00b7\uff08a-b\uff09\uff1b
\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f\uff1aa2\u00b12ab+b2=\uff08a\u00b1b\uff092\uff1b
3\u3001\u5206\u7ec4\u5206\u89e3\u6cd5\uff1a
\u5229\u7528\u5206\u7ec4\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u7684\u65b9\u6cd5\u53eb\u505a\u5206\u7ec4\u5206\u89e3\u6cd5\uff0cac+ad+bc+bd=a\u00b7\uff08c+d\uff09+b\u00b7\uff08c+d\uff09=\uff08a+b\uff09\u00b7\uff08c+d\uff09
\u5176\u539f\u5219\uff1a
\u2460\u8fde\u7eed\u63d0\u53d6\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\uff1a\u5206\u7ec4\u540e\u6bcf\u7ec4\u80fd\u591f\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\uff0c\u6bcf\u7ec4\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u540e\uff0c\u7ec4\u4e0e\u7ec4\u4e4b\u95f4\u53c8\u6709\u516c\u56e0\u5f0f\u53ef\u63d0\u3002
\u2461\u5206\u7ec4\u540e\u76f4\u63a5\u8fd0\u7528\u516c\u5f0f\u6cd5\uff1a\u5206\u7ec4\u540e\u5404\u7ec4\u5185\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u5e94\u7528\u516c\u5f0f\uff0c\u5404\u7ec4\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u540e\uff0c\u4f7f\u7ec4\u4e0e\u7ec4\u4e4b\u95f4\u6784\u6210\u516c\u5f0f\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u7136\u540e\u7528\u516c\u5f0f\u6cd5\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u3002
4\u3001\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\uff1aa2+\uff08p+q\uff09\u00b7a+p\u00b7q=\uff08a+p\uff09\u00b7\uff08a+q\uff09\u3002
5\u3001\u89e3\u65b9\u7a0b\u6cd5:
\u901a\u8fc7\u89e3\u65b9\u7a0b\u6765\u8fdb\u884c\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\uff0c\u5982
x2+2x+1=0 ,\u89e3\uff0c\u5f97x1=-1\uff0cx2=-1\uff0c\u5c31\u5f97\u5230\u539f\u5f0f=\uff08x+1\uff09\u00d7\uff08x+1\uff09
6\u3001\u5f85\u5b9a\u7cfb\u6570\u6cd5:
\u9996\u5148\u5224\u65ad\u51fa\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u7136\u540e\u8bbe\u51fa\u76f8\u5e94\u6574\u5f0f\u7684\u5b57\u6bcd\u7cfb\u6570\uff0c\u6c42\u51fa\u5b57\u6bcd\u7cfb\u6570\uff0c\u4ece\u800c\u628a\u591a\u9879\u5f0f\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u3002
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
解：a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析： 1 -3
7 2
2-21=-19
解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
解方程依据
1、移项变号：把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以，除以变乘；
2、等式的基本性质
性质1：等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。
(1)a+c=b+c
(2)a-c=b-c
性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不为0）。则：
a×c=b×c 或a/c=b/c
性质3：若a=b，则b=a（等式的对称性）。
性质4：若a=b，b=c则a=c（等式的传递性）。
不要迷信一些方法的汇总。关键是掌握基本的数学思想。
应该学会融会贯通
因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
解：a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析： 1 -3
7 2
2-21=-19
解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
解：令y= x +2x -5x-6
作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x +9x +23x+15
解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
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