为什么积分上限下限要调换位置?
积分上下限反过来是因为换元引起的积分区间变化,换元前积分变量为t,区间[0,x],换元中用u代替x-t,积分变量为u,积分下限变为x-0=x,积分上限变为x-x=0,所以看起来是反的,其实是巧合。
上限:t=x,使用u=x-t换元后对应:u=x-t=x-x=0
下限:t=0,使用u=x-t换元后对应:u=x-t=x-0=x
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3],?,(xn-1,xn],其中x0=a,xn=b。可知各区间的长度依次是:△x1=x1-x0,在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi(1,2,...,n),作和式
该和式叫做积分和,设λ=max{△x1,△x2,?,△xn}(即λ是最大的区间长度),如果当λ→0时,积分和的极限存在,则这个极限叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分,记为 ,并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。
其中:a叫做积分下限,b叫做积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积表达式,∫叫做积分号。
之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个常数,而不是一个函数。
扩展资料
把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份,用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。只要是上方的函数减去下方的函数,然后积分,就绝对不会出现符号问题。
平时的积分,由于减去的是x轴的函数,也就是y=0;而在x轴下方的图形,自然要x轴的函数减去x轴下方的函数,也就是0-f(x)=-f(x),这就是负号的来源。负号不是人为加上去的,而是由x轴减下方函数所固有的。
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