【8】实（反）对称矩阵的特征值
揭秘实（反）对称矩阵的神秘特性
今天，让我们一起探索一个来自xqh博客每周挑战的问题，聚焦于实反对称矩阵和实对称矩阵的奇妙组合。问题的关键在于理解它们的非奇异性，即矩阵的秩和特征值的性质。
思路一：秩的证明
首先，假设存在一个阶实反对称矩阵 和阶实对称矩阵 ，我们要证明它们都是非奇异矩阵，即秩为满秩。如果 不满秩，我们可以构造一个反例来揭示矛盾。假设存在一组非零向量 使得 ，即行向量和列向量线性相关。
进一步，记 为行向量， 为列向量，且它们对应于矩阵的行/列数。值得注意的是， 可视为标准基的第 个基向量。若 ，我们可以选择向量 ，考虑矩阵乘积:
。
如果 与标准基线性无关，这就产生了矛盾。因此， 的行/列向量都是线性无关的，秩为满秩，这就证明了 是非奇异的。
思路二：特征值的揭示
另一方面，我们可以通过分析特征值来证明矩阵的非奇异性。实反对称矩阵 的特征值都是纯虚数，而实对称矩阵 的特征值则为实数。我们以 为例，假设存在非零向量 使得 。
通过左乘 的共轭转置，得到 ，然后取共轭转置得到 。由于 是实反对称矩阵， 。将此性质代入，我们有：
。
将两个式子相加，我们发现 ，这表明 不能是实数，因此必然是纯虚数。同样的论证也可以应用在 上，进一步证明了矩阵的非奇异性。
综上所述，实反对称矩阵 和实对称矩阵 的非奇异性不仅可以通过秩的论证得出，其特征值的特性也提供了有力的佐证。这种数学之美，体现在矩阵的性质与它们在代数空间中的表现之间，令人叹为观止。
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