求矩阵的秩时可以行列变换同时使用吗 线性代数里求秩能否同时进行行变换和列变换。同时,可以否?

\u6c42\u77e9\u9635\u79e9\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u53ef\u4ee5\u4ea4\u66ff\u4f7f\u7528\u884c\u5217\u53d8\u6362\u5417

\u5982\u679c\u53ea\u662f\u6c42\u79e9\uff0c\u53ef\u4ee5\u4efb\u610f\u4f7f\u7528\u884c\u5217\u53d8\u6362\u3002\u4f46\u5982\u679c\u8fd8\u8981\u6c42\u5217\u5411\u91cf\u7ec4\u7684\u6781\u5927\u65e0\u5173\u7ec4\u7b49\uff0c\u5219\u53ea\u80fd\u7528\u884c\u53d8\u6362\u3002
\u4e00\u4e2a\u77e9\u9635A\u7684\u5217\u79e9\u662fA\u7684\u7ebf\u6027\u72ec\u7acb\u7684\u7eb5\u5217\u7684\u6781\u5927\u6570\u76ee\u3002\u7c7b\u4f3c\u5730\uff0c\u884c\u79e9\u662fA\u7684\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u6a2a\u884c\u7684\u6781\u5927\u6570\u76ee\u3002\u901a\u4fd7\u4e00\u70b9\u8bf4\uff0c\u5982\u679c\u628a\u77e9\u9635\u770b\u6210\u4e00\u4e2a\u4e2a\u884c\u5411\u91cf\u6216\u8005\u5217\u5411\u91cf\uff0c\u79e9\u5c31\u662f\u8fd9\u4e9b\u884c\u5411\u91cf\u6216\u8005\u5217\u5411\u91cf\u7684\u79e9\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u6781\u5927\u65e0\u5173\u7ec4\u4e2d\u6240\u542b\u5411\u91cf\u7684\u4e2a\u6570\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5728m*n\u77e9\u9635A\u4e2d\uff0c\u4efb\u610f\u51b3\u5b9ak\u884c\u548ck\u5217\u4ea4\u53c9\u70b9\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u6784\u6210A\u7684\u4e00\u4e2ak\u9636\u5b50\u77e9\u9635\uff0c\u6b64\u5b50\u77e9\u9635\u7684\u884c\u5217\u5f0f\uff0c\u79f0\u4e3aA\u7684\u4e00\u4e2ak\u9636\u5b50\u5f0f\u3002
\u4f8b\u5982\uff0c\u5728\u9636\u68af\u5f62\u77e9\u9635\u4e2d\uff0c\u9009\u5b9a1\uff0c3\u884c\u548c3\uff0c4\u5217\uff0c\u5b83\u4eec\u4ea4\u53c9\u70b9\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u6240\u7ec4\u6210\u76842\u9636\u5b50\u77e9\u9635\u7684\u884c\u5217\u5f0f \u5c31\u662f\u77e9\u9635A\u7684\u4e00\u4e2a2\u9636\u5b50\u5f0f\u3002
\u5f53r(A)<=n-2\u65f6\uff0c\u6700\u9ad8\u9636\u975e\u96f6\u5b50\u5f0f\u7684\u9636\u6570<=n-2\uff0c\u4efb\u4f55n-1\u9636\u5b50\u5f0f\u5747\u4e3a\u96f6\uff0c\u800c\u4f34\u968f\u9635\u4e2d\u7684\u5404\u5143\u7d20\u5c31\u662fn-1\u9636\u5b50\u5f0f\u518d\u52a0\u4e0a\u4e2a\u6b63\u8d1f\u53f7\uff0c\u6240\u4ee5\u4f34\u968f\u9635\u4e3a0\u77e9\u9635\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u77e9\u9635\u7684\u79e9

\u53ef\u4ee5\u3002
\u7b49\u4ef7\u77e9\u9635\uff1a\u82e5\u5b58\u5728\u53ef\u9006\u77e9\u9635P\u3001Q\uff0c\u4f7fPAQ=B\uff0c\u5219A\u4e0eB\u7b49\u4ef7\u3002\uff08\u5145\u5206\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\uff09
\u82e5r(A)=r(B)\uff0cA\uff0cB\u540c\u578b\u77e9\u9635\uff0c\u5219A\u4e0eB\u7b49\u4ef7\u3002\uff08\u5145\u5206\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\uff09
\u5728\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u548c\u77e9\u9635\u8bba\u4e2d\uff0c\u4e24\u4e2a\u77e9\u9635\u4e4b\u95f4\u7684\u7b49\u4ef7\u662f\u4e00\u79cd\u77e9\u9635\u4e4b\u95f4\u7684\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u3002
\u6240\u8c13\u77e9\u9635A\u4e0e\u77e9\u9635B\u7b49\u4ef7\uff0c\u5373A\u7ecf\u8fc7\u521d\u7b49\u53d8\u6362\u53ef\u5f97\u5230B\u3002
\u53ef\u9006\u77e9\u9635\uff1a\u82e5A\u53ef\u9006\uff0c\u5219A=P1P2...Ps\uff0cPi\u662f\u521d\u7b49\u77e9\u9635\u3002\uff08\u5145\u5206\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\uff09
\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u88ab\u5e7f\u6cdb\u5730\u5e94\u7528\u4e8e\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u548c\u6cdb\u51fd\u5206\u6790\u4e2d\uff1b\u901a\u8fc7\u89e3\u6790\u51e0\u4f55\uff0c\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u5f97\u4ee5\u88ab\u5177\u4f53\u8868\u793a\u3002\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u7684\u7406\u8bba\u5df2\u88ab\u6cdb\u5316\u4e3a\u7b97\u5b50\u7406\u8bba\u3002\u7531\u4e8e\u79d1\u5b66\u7814\u7a76\u4e2d\u7684\u975e\u7ebf\u6027\u6a21\u578b\u901a\u5e38\u53ef\u4ee5\u88ab\u8fd1\u4f3c\u4e3a\u7ebf\u6027\u6a21\u578b\uff0c\u4f7f\u5f97\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u88ab\u5e7f\u6cdb\u5730\u5e94\u7528\u4e8e\u81ea\u7136\u79d1\u5b66\u548c\u793e\u4f1a\u79d1\u5b66\u4e2d\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5728\u89e3\u6790\u51e0\u4f55\u91cc\uff0c\u5e73\u9762\u4e0a\u76f4\u7ebf\u7684\u65b9\u7a0b\u662f\u4e8c\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\uff1b\u7a7a\u95f4\u5e73\u9762\u7684\u65b9\u7a0b\u662f\u4e09\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u800c\u7a7a\u95f4\u76f4\u7ebf\u89c6\u4e3a\u4e24\u4e2a\u5e73\u9762\u76f8\u4ea4\uff0c\u7531\u4e24\u4e2a\u4e09\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u6240\u7ec4\u6210\u7684\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6765\u8868\u793a\u3002
\u542b\u6709n\u4e2a\u672a\u77e5\u91cf\u7684\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u79f0\u4e3a\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u3002\u5173\u4e8e\u53d8\u91cf\u662f\u4e00\u6b21\u7684\u51fd\u6570\u79f0\u4e3a\u7ebf\u6027\u51fd\u6570\u3002\u7ebf\u6027\u5173\u7cfb\u95ee\u9898\u7b80\u79f0\u7ebf\u6027\u95ee\u9898\u3002\u89e3\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u95ee\u9898\u662f\u6700\u7b80\u5355\u7684\u7ebf\u6027\u95ee\u9898\u3002
\u5bf9\u4e00\u4e2a n \u884c n \u5217\u7684\u975e\u96f6\u77e9\u9635 A\uff0c\u5982\u679c\u5b58\u5728\u4e00\u4e2a\u77e9\u9635 B \u4f7f AB = BA =E\uff08E\u662f\u5355\u4f4d\u77e9\u9635\uff09\uff0c\u5219 A \u4e3a\u975e\u5947\u5f02\u77e9\u9635\uff08\u6216\u79f0\u53ef\u9006\u77e9\u9635\uff09\uff0cB\u4e3aA\u7684\u9006\u9635\u3002\u77e9\u9635\u975e\u5947\u5f02\uff08\u53ef\u9006\uff09\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53\u5b83\u7684\u884c\u5217\u5f0f\u4e0d\u4e3a\u96f6\u3002
\u77e9\u9635\u975e\u5947\u5f02\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53\u5b83\u4ee3\u8868\u7684\u7ebf\u6027\u53d8\u6362\u662f\u4e2a\u81ea\u540c\u6784\u3002\u77e9\u9635\u534a\u6b63\u5b9a\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53\u5b83\u7684\u6bcf\u4e2a\u7279\u5f81\u503c\u5927\u4e8e\u6216\u7b49\u4e8e\u96f6\u3002\u77e9\u9635\u6b63\u5b9a\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53\u5b83\u7684\u6bcf\u4e2a\u7279\u5f81\u503c\u90fd\u5927\u4e8e\u96f6\u3002\u89e3\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u514b\u62c9\u9ed8\u6cd5\u5219\u3002\u5224\u65ad\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u65e0\u975e\u96f6\u5b9e\u6839\u7684\u589e\u5e7f\u77e9\u9635\u548c\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u5173\u7cfb\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570

应该可以,变换到最后是一个r阶大小(矩阵的秩)的单位阵。所以还不如仅仅做初等行变换来得快些。

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