已知三阶实对称矩阵A的每行元素之和都等于2,且R(2E+A)=1(1)求正交阵P,使得P-1AP为对角形矩阵？ A为三阶实对称矩阵，A(A+2E)=0,r(A)=2，那么A...
\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\uff1a\u4e3a\u4ec0\u4e48\u4e09\u9636\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A,R(A-2E)=1,\u6240\u4ee52\u662fA\u7684\u4e8c\u91cd\u7279\u5f81\u503c?\u56e0\u4e3a R(A-2E)=1
\u6240\u4ee5 A \u7684\u5c5e\u4e8e\u7279\u5f81\u503c2\u7684\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u6709 3-1=2 \u4e2a.
\u800cA\u662f\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635, k\u91cd\u7279\u5f81\u503c\u6709k\u4e2a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf
\u6240\u4ee52\u662fA\u7684\u4e8c\u91cd\u7279\u5f81\u503c.
\u56e0\u4e3aA\u4e3a\u4e09\u9636\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0c\u662f\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u5fc5\u53ef\u5bf9\u89d2\u5316
A(A+2E)=0,\u6545A\u7684\u7279\u5f81\u503c\u53ea\u80fd\u662f0,-2
\u7531 r(A)=2 \u77e5 A \u7684\u7279\u5f81\u503c\u4e3a 0,-2,-2.
\u6240\u4ee5A+2E\u7279\u5f81\u503c\u4e3a 2,0,0.
\u6240\u4ee5|A+2E|=0
又r(2E+A) = 1，说明方程(A+2E)x = 0有两个线性无关解x2,x3，所以x2,x3是A的特征值为-2的特征向量。这样我们找出了所有特征向量和特征值。
因为正交阵P的每一列都是A的特征向量，而上面我们已经知道A只有两个特征值。所有与x1垂直的向量肯定是特征值为-2的特征向量，换名话说，我们只要构造第一列与x1平行的正交矩阵P。比如说 P =
1/√3 1/√2 1/√6
1/√3 -1/√2 1/√6
1/√3 0 -2/√6
当然答案不唯一，你也可以用正交化的方法求一个。
我们有A = PDP^-1，D = diag{2,-2,-2}为对角阵
所以A^m = PD^mP^{-1}， D^m = diag{2^m, (-2)^m, (-2)^m}
再把你求的P代进去算就可以了。
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