用洛必达求极限 用洛必达法则求极限
\u4ec0\u4e48\u60c5\u51b5\u6781\u9650\u80fd\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff1f\u6c42\u6307\u65591\u3001\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u7684\u6781\u9650\u662f\u5426\u90fd\u7b49\u4e8e\u96f6(\u6216\u8005\u65e0\u7a77\u5927)\uff1b
2\u3001\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u5728\u9650\u5b9a\u7684\u533a\u57df\u5185\u662f\u5426\u5206\u522b\u53ef\u5bfc\u3002
\u5982\u679c\u8fd9\u4e24\u4e2a\u6761\u4ef6\u90fd\u6ee1\u8db3\uff0c\u63a5\u7740\u6c42\u5bfc\u5e76\u5224\u65ad\u6c42\u5bfc\u4e4b\u540e\u7684\u6781\u9650\u662f\u5426\u5b58\u5728\uff1a\u5982\u679c\u5b58\u5728\uff0c\u76f4\u63a5\u5f97\u5230\u7b54\u6848\uff1b\u5982\u679c\u4e0d\u5b58\u5728\uff0c\u5219\u8bf4\u660e\u6b64\u79cd\u672a\u5b9a\u5f0f\u4e0d\u53ef\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u6765\u89e3\u51b3\uff1b\u5982\u679c\u4e0d\u786e\u5b9a\uff0c\u5373\u7ed3\u679c\u4ecd\u7136\u4e3a\u672a\u5b9a\u5f0f\uff0c\u518d\u5728\u9a8c\u8bc1\u7684\u57fa\u7840\u4e0a\u7ee7\u7eed\u4f7f\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u4f7f\u7528\u7684\u6ce8\u610f\u4e8b\u9879\uff1a
1\u3001\u5728\u7740\u624b\u6c42\u6781\u9650\u4ee5\u524d\uff0c\u9996\u5148\u8981\u68c0\u67e5\u662f\u5426\u6ee1\u8db30\u6bd40 \u578b\u6216\u662f\u65e0\u7a77\u6bd4\u65e0\u7a77\u578b\u6784\u578b\uff0c\u5426\u5219\u6ee5\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u4f1a\u51fa\u9519\uff08\u5176\u5b9e\u65e0\u7a77\u6bd4\u65e0\u7a77\u5f62\u5f0f\u5206\u5b50\u5e76\u4e0d\u9700\u8981\u4e3a\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u53ea\u9700\u5206\u6bcd\u4e3a\u65e0\u7a77\u5927\u5373\u53ef\uff09\u3002
2\u3001\u5f53\u4e0d\u5b58\u5728\u65f6\uff08\u4e0d\u5305\u62ec\u65e0\u7a77\u60c5\u5f62\uff09\uff0c\u5c31\u4e0d\u80fd\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c\u8fd9\u65f6\u79f0\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u4e0d\u9002\u7528\uff0c\u5e94\u4ece\u53e6\u5916\u9014\u5f84\u6c42\u6781\u9650\u3002\u6bd4\u5982\u5229\u7528\u6cf0\u5f0f\u6c42\u89e3 \u3002
3\u3001\u82e5\u6761\u4ef6\u7b26\u5408\uff0c\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u53ef\u8fde\u7eed\u591a\u6b21\u4f7f\u7528\uff0c\u76f4\u5230\u6c42\u51fa\u6781\u9650\u4e3a\u6b62\u3002
4\u3001\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u662f\u6c42\u672a\u5b9a\u5f0f\u6781\u9650\u7684\u6709\u6548\u5de5\u5177\uff0c\u4f46\u662f\u5982\u679c\u4ec5\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c\u5f80\u5f80\u8ba1\u7b97\u4f1a\u5341\u5206\u7e41\u7410\uff0c\u56e0\u6b64\u4e00\u5b9a\u8981\u4e0e\u5176\u4ed6\u65b9\u6cd5\u76f8\u7ed3\u5408\uff0c\u6bd4\u5982\u53ca\u65f6\u5c06\u975e\u96f6\u6781\u9650\u7684\u4e58\u79ef\u56e0\u5b50\u5206\u79bb\u51fa\u6765\u4ee5\u7b80\u5316\u8ba1\u7b97\u3001\u4e58\u79ef\u56e0\u5b50\u7528\u7b49\u4ef7\u91cf\u66ff\u6362\u7b49\u7b49\u3002
\uff081\uff09\u5728\u7740\u624b\u6c42\u6781\u9650\u4ee5\u524d\uff0c\u9996\u5148\u8981\u68c0\u67e5\u662f\u5426\u6ee1\u8db30/0\u6216\u221e/\u221e\u578b\u6784\u578b\u3002\u5f53\u4e0d\u5b58\u5728\u65f6\uff08\u4e0d\u5305\u62ec\u221e\u60c5\u5f62\uff09\uff0c\u5c31\u4e0d\u80fd\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c\u8fd9\u65f6\u79f0\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u4e0d\u9002\u7528\uff0c\u5e94\u4ece\u53e6\u5916\u9014\u5f84\u6c42\u6781\u9650\u3002\u6bd4\u5982\u5229\u7528\u6cf0\u52d2\u516c\u5f0f\u6c42\u89e3\u3002 \uff082\uff09\u82e5\u6761\u4ef6\u7b26\u5408\uff0c\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u53ef\u8fde\u7eed\u591a\u6b21\u4f7f\u7528\uff0c\u76f4\u5230\u6c42\u51fa\u6781\u9650\u4e3a\u6b62\u3002 \uff083\uff09\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u662f\u6c42\u672a\u5b9a\u5f0f\u6781\u9650\u7684\u6709\u6548\u5de5\u5177\uff0c\u4f46\u662f\u5982\u679c\u4ec5\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c\u5f80\u5f80\u8ba1\u7b97\u4f1a\u5341\u5206\u7e41\u7410\uff0c\u56e0\u6b64\u4e00\u5b9a\u8981\u4e0e\u5176\u4ed6\u65b9\u6cd5\u76f8\u7ed3\u5408\uff0c\u6bd4\u5982\u53ca\u65f6\u5c06\u975e\u96f6\u6781\u9650\u7684\u4e58\u79ef\u56e0\u5b50\u5206\u79bb\u51fa\u6765\u4ee5\u7b80\u5316\u8ba1\u7b97\u3001\u4e58\u79ef\u56e0\u5b50\u7528\u7b49\u4ef7\u91cf\u66ff\u6362\u7b49\u7b49\u3002 \uff084\uff09\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u5e38\u7528\u4e8e\u6c42\u4e0d\u5b9a\u5f0f\u6781\u9650\u3002\u57fa\u672c\u7684\u4e0d\u5b9a\u5f0f\u6781\u9650\uff1a0/0\u578b\uff1b\u221e/\u221e\u578b\uff08x\u2192\u221e\u6216x\u2192a\uff09\uff0c\u800c\u5176\u4ed6\u7684\u59820*\u221e\u578b, \u221e-\u221e\u578b\uff0c\u4ee5\u53ca1^\u221e\u578b\uff0c\u221e^0\u578b\u548c0^0\u578b\u7b49\u5f62\u5f0f\u7684\u6781\u9650\u5219\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u76f8\u5e94\u7684\u53d8\u6362\u8f6c\u6362\u6210\u4e0a\u8ff0\u4e24\u79cd\u57fa\u672c\u7684\u4e0d\u5b9a\u5f0f\u5f62\u5f0f\u6765\u6c42\u89e3\u3002\uff085\uff09\u6ee1\u8db3\u5176\u6761\u4ef6\u7684\u662f0\u6bd40\u578b\u6216\u8005\u65e0\u7a77\u5927\u6bd4\u65e0\u7a77\u5927\u578b\u3002\u5982\u679c\u662f0\u4e58\u4ee5\u65e0\u7a77\u5927\u578b\u7684\uff0c\u4f60\u53ef\u4ee5\u628a\u5176\u4e2d\u4e00\u4e2a\u53d8\u6210\u5206\u4e4b1\uff0c\u5c31\u597d\u4e86\uff0c\u4f46\u662f\u524d\u9898\u662f\u8981\u53ef\u5bfc\u4e14\u5b58\u5728\uff0c\u5e76\u4e14\u5206\u5b50\u6216\u8005\u5206\u6bcd\u4e00\u822c\u4e0d\u80fd\u662f\u52a0\u51cf\u5f0f\u5b50\u3002
洛必塔法则是解决求解“0/0”型与“∞/∞”型极限的一种有效方法，利用洛必塔法则求极限只要注意以下三点：1、在每次使用洛必塔法则之前，必须验证是“0/0”型与“∞/∞”型极限。否则会导致错误；
2、洛必塔法则是分子与分母分别求导数，而不是整个分式求导数；
3、使用洛必塔法则求得的结果是实数或∞（不论使用了多少次），则原来极限的结果就是这个实数或∞，求解结束；如果最后得到极限不存在（不是∞的情形），则不能断言原来的极限也不存在，应该考虑用其它的方法求解。
绛旓細f(x) = [ 2arctanx / 蟺 ] ^ x 锛 ln f(x) = x * [ ln(2/蟺) + ln arctanx ]lim(x->+鈭) ln f(x)= lim(x->+鈭) [ ln(2/蟺) + ln arctanx ] / (1/x) o/o锛娲涘繀杈娉曞垯 = lim(x->+鈭) (1/arctanx) * 1/(1+x²) / (-1/x²)= -...
绛旓細瑙ｏ細(lnx)^(1/x)=e^{ln[(lnx)^(1/x)]} =e^[(1/x)lnlnx]=e^[(lnlnx)/x]A/B=(lnlnx)/x锛屸垶/鈭炲瀷 A'/B'=(lnlnx)'/(x)'=(1/lnx)*(lnx)'/1 =(1/lnx)*(1/x)=1/(xlnx)x鈫+鈭炴椂锛宭imA'/B'=0 鎵浠ワ紝x鈫+鈭炴椂锛宭im[(lnx)^(1/x)]=e^0 =1 ...
绛旓細灏嗭紙1+1/x锛夌殑x娆℃柟閰嶆垚锛1+1/x锛夌殑x娆℃柟鍐嶄箻涓涓獂鏃讹紝澶栭潰杩欎釜x鍦▁鈫抩o鏃舵瀬闄愪笉瀛樺湪锛屾墍浠ュ緱鍙栧鏁姹傛瀬闄銆傝瘉鏄庯細x瓒嬭繎浜庢棤绌峰皬ln(x+1)/x鐢ㄦ礇蹇呰揪娉曟眰瑙 x瓒嬭繎浜庢棤绌峰皬[1/(x+1)]/1=1 灏唜瓒嬭繎浜庢棤绌峰皬ln(x+1)/x=1 杞崲涓涓嬪嵆 x瓒嬭繎浜庢棤绌峰皬ln(1+x)鐨1/x娆℃柟=1 鍐嶈浆鎹...
绛旓細杩欓鐢ㄧ瓑浠锋棤绌峰皬浠ｆ崲瑕佺畝鍗曚簺 lim(x->0)ln(1+x^2)/(secx-cosx)=lim(x->0)ln(1+x^2)/(1/cosx-cosx)=lim(x->0)ln(1+x^2)cosx/(1-(cosx)^2)=lim(x->0)ln(1+x^2)cosx/((sinx)^2)绛変环鏃犵┓灏忎唬鎹 =lim(x->0) x^2cosx/x^2 =1 濡傛灉闈炶鐢ㄦ礇蹇呰揪娉曞垯,閭ｄ粠鍊掓暟绗...
绛旓細浣跨敤娲涘繀杈娉曞垯銆1.0^0鍨 濡俵imx鈫抩+ x^x=limx鈫0+ e^xlnx=e^limx鈫0+ xlnx=e^limx鈫0+ lnx/x^(-1)=e^0=1 2.鈭瀆0鍨 濡俵imx鈫掆垶 x^x^(-1)=1 3.1^鈭炲瀷 濡俵imx鈫1 x^1/1-x=1/e
绛旓細=lim(x->0)exp(1)(1-exp(ln(x+1)/x-1))/x 鍒╃敤绛変环鏃犵┓灏 =lim(x->0)exp(1)(-(ln(x+1)/x-1))/x =lim(x->0)exp(1)(x-ln(x+1))/x^2 鍒╃敤娲涘繀杈娉曞垯 =lim(x->0)exp(1)(1-1/(x+1))/(2x)=lim(x->0)exp(1)/(2(x+1))=exp(1)/2 閬囧埌鏋侀檺涓鑸槸鐢...
绛旓細=锛1+x锛夛紙1+x2锛壜仿仿凤紙1+x2鐨刵娆℃柟锛=1-x2鐨刵+1娆℃柟/1-x 鍙婏綔x锝滃皬浜1 =1/1-x 姹傛瀬闄鍩烘湰鏂规硶鏈 1銆佸垎寮忎腑锛屽垎瀛愬垎姣嶅悓闄や互鏈楂樻锛屽寲鏃犵┓澶т负鏃犵┓灏忚绠楋紝鏃犵┓灏忕洿鎺ヤ互0浠ｅ叆銆2銆佹棤绌峰ぇ鏍瑰紡鍑忓幓鏃犵┓澶ф牴寮忔椂锛屽垎瀛愭湁鐞嗗寲銆3銆佽繍鐢娲涘繀杈娉曞垯锛屼絾鏄礇蹇呰揪娉曞垯鐨勮繍鐢ㄦ潯浠舵槸鍖栨垚...
绛旓細鏂规硶濡備笅锛岃浣滃弬鑰冿細
绛旓細lim(x鈫0)[1+f(x)/x]^(1/x)=e^{lim(x鈫0)(1/x)ln[1+f(x)/x]}銆傝岀敱棰樿鏉′欢锛宭im(x鈫0)(1/x)ln[1+f(x)/x]灞炩0/0鈥濆瀷锛鐢ㄦ礇蹇呰揪娉曞垯锛屸埓lim(x鈫0)(1/x)ln[ 1+f(x)/x]=lim(x鈫0)[f(x)/x]'/[1+f(x)/x]=lim(x鈫0)[xf'(x)-f(x)]/[x&#...
绛旓細瑙ｏ細鍘熷紡=e^[lim(x鈫捪/4)(tan2x)ln(tanx)]銆傝岋紝lim(x鈫捪/4)(tan2x)ln(tanx)=lim(x鈫捪/4)(sin2x)*lim(x鈫捪/4)ln(tanx)/cos2x=lim(x鈫捪/4)ln(tanx)/cos2x锛屽睘鈥0/0鈥濆瀷锛鐢ㄦ礇蹇呰揪娉曞垯锛屸埓lim(x鈫捪/4)(tan2x)ln(tanx)=lim(x鈫捪/4)(sin2x)*lim(x鈫捪/4)...
