复数不也是向量吗？那为什么复数乖法法则不是 实数部×实数部+虚数部×虚数部呢？就像向量中 横坐标× 什么是虚数和复数??
\u5b9e\u6570\u4e0e\u865a\u6570\u7684\u5173\u7cfb\uff0c\u865a\u6570\u4e0e\u5b9e\u6570\u53ef\u4e0d\u53ef\u4ee5\u52a0\u51cf\u4e58\u9664\uff0c\u6570\u7684\u6269\u5f20\u4e00\u5411\u662f\u7814\u7a76\u7684\u4e00\u4e2a\u91cd\u70b9\u3002\u865a\u6570\u672c\u8eab\u4e5f\u662f\u4e00\u7c7b\u6570\u3002\u5982\u679c\u4f60\u5bf9\u5411\u91cf\u6709\u8ba4\u8bc6\uff0c\u90a3\u4e48\u4f1a\u6bd4\u8f83\u5bb9\u6613\u7406\u89e3\u73b0\u6709\u7684\u8fd9\u4e00\u70b9\u3002\u5b9e\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\u662f\u4e00\u7ef4\u7684\uff0c\u5373\u6570\u8f74\uff0c\u4ece\u539f\u70b9\u5230\u5bf9\u5e94\u6570\u5b57\u6240\u5904\u4f4d\u7f6e\u7684\u5411\u91cf\u5c31\u53ef\u4ee5\u8868\u793a\u8fd9\u4e2a\u6570\u3002\u590d\u6570\u7684\u57df\u662f\u4e8c\u7ef4\u7684\u3002\u5f53i²=-1\u88ab\u63d0\u51fa\u4ee5\u540e\uff0ci\u5c31\u548c1\u4e00\u6837\uff0c\u53ef\u4ee5\u4f5c\u4e3a\u5355\u4f4d\u51fa\u73b0\u3002\u590d\u6570\u7684\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u662fa+bi\uff0cab\u90fd\u662f\u5b9e\u6570\uff0c\u6b64\u5904\u53ef\u4ee5\u770b\u505aa*1+b*i\uff0c\u5c31\u597d\u7406\u89e3\u4e3a\u5411\u91cf\u6b63\u4ea4\u5206\u89e3\u7684\u4e00\u7ec4\u57fa\u5411\u91cf\u4e86\u3002\u5b9e\u6570\u5bf9\u5e94b=0\u800c\u5df2\u3002\u81ea\u7136\u53ef\u4ee5\u52a0\u51cf\u4e58\u9664\u3002\u4e0d\u8fc7\u590d\u6570\u7684\u4e58\u9664\u6cd5\u5e76\u4e0d\u5b8c\u5168\u80fd\u591f\u6309\u7167\u57fa\u672c\u7684\u5411\u91cf\u6765\u7406\u89e3\u3002
\u628aa+bi\u7684\u51e0\u4f55\u542b\u4e49\u5bf9\u5e94\u7684\u4e8c\u7ef4\u5e73\u9762\uff0c\u7c7b\u4f3c\u5e73\u9762\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\uff0c\u4e00\u6839\u8f74\u662f\u5b9e\u8f74\uff0c\u5bf9\u5e94a\u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\uff0c\u53e6\u4e00\u6839\u8f74\u662f\u865a\u8f74\uff0c\u5bf9\u5e94b\u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\uff0c\u7ed3\u5408\u5411\u91cf\u7684\u51e0\u4f55\u542b\u4e49\uff0c\u5c31\u53ef\u4ee5\u7406\u89e3\u4e86\u3002\u6bd4\u59825+\u221a15i\u548c5-\u221a15i\u5c31\u662f\u548c\u4e3a10\uff0c\u79ef\u4e3a40\u7684\u4e24\u4e2a\u6570\u3002\u5b9e\u6570\u7684\u8fd0\u7b97\u6709\u5f88\u5927\u7684\u5c40\u9650\u6027\uff0c\u5c24\u5176\u662f\u5728\u5206\u6790\u9886\u57df\uff0c\u590d\u6570\u6253\u5f00\u4e86\u4e00\u4e2a\u65b0\u7684\u601d\u8def\u3002\u590d\u6570\u4e5f\u53ef\u4ee5\u7406\u89e3\u4e3a\u4e8c\u5143\u6570\uff0c\u56e0\u4e3a\u590d\u6570\u662f\u5efa\u7acb\u5728\u4e8c\u7ef4\u7a7a\u95f4\u4e0a\u7684\u4e00\u7c7b\u8868\u793a\uff0c\u8fd8\u6709\u66f4\u590d\u6742\u7684\u5f62\u5982\u56db\u5143\u6570\uff0c\u53cc\u4e8c\u5143\u6570\uff0c\u516b\u5143\u6570\u7b49\u7b49\uff0c\u4f46\u662f\u7531\u4e8e\u8fd9\u4e9b\u66f4\u4e3a\u590d\u6742\u5c42\u9762\u7684\u6570\u7684\u8fd0\u7b97\u6027\u8d28\u4f1a\u53d7\u5230\u6781\u5927\u5730\u9650\u5236\uff0c\u56e0\u800c\u5728\u57fa\u672c\u7684\u8ba8\u8bba\u8303\u7574\u901a\u5e38\u4e0d\u4e88\u6d89\u53ca\u3002
\u5728\u6570\u5b66\u4e2d\uff0c\u865a\u6570\u5c31\u662f\u5f62\u5982a+b*i\u7684\u6570\uff0c\u5176\u4e2da,b\u662f\u5b9e\u6570\uff0c\u4e14b\u22600,i²
=
-
1\u3002\u865a\u6570\u8fd9\u4e2a\u540d\u8bcd\u662f17\u4e16\u7eaa\u8457\u540d\u6570\u5b66\u5bb6\u7b1b\u5361\u5c14\u521b\u7acb\uff0c\u56e0\u4e3a\u5f53\u65f6\u7684\u89c2\u5ff5\u8ba4\u4e3a\u8fd9\u662f\u771f\u5b9e\u4e0d\u5b58\u5728\u7684\u6570\u5b57\u3002
\u540e\u6765\u53d1\u73b0\u865a\u6570a+b*i\u7684\u5b9e\u90e8a\u53ef\u5bf9\u5e94\u5e73\u9762\u4e0a\u7684\u6a2a\u8f74\uff0c\u865a\u90e8b\u4e0e\u5bf9\u5e94\u5e73\u9762\u4e0a\u7684\u7eb5\u8f74\uff0c\u8fd9\u6837\u865a\u6570a+b*i\u53ef\u4e0e\u5e73\u9762\u5185\u7684\u70b9(a,b)\u5bf9\u5e94\u3002
\u53ef\u4ee5\u5c06\u865a\u6570bi\u6dfb\u52a0\u5230\u5b9e\u6570a\u4ee5\u5f62\u6210\u5f62\u5f0fa
+
bi\u7684\u590d\u6570\uff0c\u5176\u4e2d\u5b9e\u6570a\u548cb\u5206\u522b\u88ab\u79f0\u4e3a\u590d\u6570\u7684\u5b9e\u90e8\u548c\u865a\u90e8\u3002\u4e00\u4e9b\u4f5c\u8005\u4f7f\u7528\u672f\u8bed\u7eaf\u865a\u6570\u6765\u8868\u793a\u6240\u8c13\u7684\u865a\u6570\uff0c\u865a\u6570\u8868\u793a\u5177\u6709\u975e\u96f6\u865a\u90e8\u7684\u4efb\u4f55\u590d\u6570\u3002
\u6211\u4eec\u628a\u5f62\u5982z=a+bi\uff08a,b\u5747\u4e3a\u5b9e\u6570\uff09\u7684\u6570\u79f0\u4e3a\u590d\u6570\uff0c\u5176\u4e2da\u79f0\u4e3a\u5b9e\u90e8\uff0cb\u79f0\u4e3a\u865a\u90e8\uff0ci\u79f0\u4e3a\u865a\u6570\u5355\u4f4d\u3002\u5f53\u865a\u90e8\u7b49\u4e8e\u96f6\u65f6\uff0c\u8fd9\u4e2a\u590d\u6570\u53ef\u4ee5\u89c6\u4e3a\u5b9e\u6570\uff1b\u5f53z\u7684\u865a\u90e8\u4e0d\u7b49\u4e8e\u96f6\u65f6\uff0c\u5b9e\u90e8\u7b49\u4e8e\u96f6\u65f6\uff0c\u5e38\u79f0z\u4e3a\u7eaf\u865a\u6570\u3002
\u590d\u6570\u57df\u662f\u5b9e\u6570\u57df\u7684\u4ee3\u6570\u95ed\u5305\uff0c\u5373\u4efb\u4f55\u590d\u7cfb\u6570\u591a\u9879\u5f0f\u5728\u590d\u6570\u57df\u4e2d\u603b\u6709\u6839\u3002
\u590d\u6570\u662f\u7531\u610f\u5927\u5229\u7c73\u5170\u5b66\u8005\u5361\u5f53\u5728\u5341\u516d\u4e16\u7eaa\u9996\u6b21\u5f15\u5165\uff0c\u7ecf\u8fc7\u8fbe\u6717\u8d1d\u5c14\u3001\u68e3\u83ab\u5f17\u3001\u6b27\u62c9\u3001\u9ad8\u65af\u7b49\u4eba\u7684\u5de5\u4f5c\uff0c\u6b64\u6982\u5ff5\u9010\u6e10\u4e3a\u6570\u5b66\u5bb6\u6240\u63a5\u53d7\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u4e00\u3001\u865a\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\uff1a
\u5728\u6570\u5b66\u91cc\uff0c\u5c06\u5076\u6307\u6570\u5e42\u662f\u8d1f\u6570\u7684\u6570\u5b9a\u4e49\u4e3a\u7eaf\u865a\u6570\u3002\u6240\u6709\u7684\u865a\u6570\u90fd\u662f\u590d\u6570\u3002\u5b9a\u4e49\u4e3ai²=-1\u3002\u4f46\u662f\u865a\u6570\u662f\u6ca1\u6709\u7b97\u672f\u6839\u8fd9\u4e00\u8bf4\u7684\uff0c\u6240\u4ee5\u00b1\u221a(-1)=\u00b1i\u3002
\u5bf9\u4e8ez=a+bi,\u4e5f\u53ef\u4ee5\u8868\u793a\u4e3ae\u7684iA\u6b21\u65b9\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u5176\u4e2de\u662f\u5e38\u6570\uff0ci\u4e3a\u865a\u6570\u5355\u4f4d\uff0cA\u4e3a\u865a\u6570\u7684\u5e45\u89d2\uff0c\u5373\u53ef\u8868\u793a\u4e3az=cosA+isinA\u3002
\u5b9e\u6570\u548c\u865a\u6570\u7ec4\u6210\u7684\u4e00\u5bf9\u6570\u5728\u590d\u6570\u8303\u56f4\u5185\u770b\u6210\u4e00\u4e2a\u6570\uff0c\u8d77\u540d\u4e3a\u590d\u6570\u3002\u865a\u6570\u6ca1\u6709\u6b63\u8d1f\u53ef\u8a00\u3002\u4e0d\u662f\u5b9e\u6570\u7684\u590d\u6570\uff0c\u5373\u4f7f\u662f\u7eaf\u865a\u6570\uff0c\u4e5f\u4e0d\u80fd\u6bd4\u8f83\u5927\u5c0f\u3002
\u4e8c\u3001\u590d\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\uff1a
\u6570\u96c6\u62d3\u5c55\u5230\u5b9e\u6570\u8303\u56f4\u5185\uff0c\u4ecd\u6709\u4e9b\u8fd0\u7b97\u65e0\u6cd5\u8fdb\u884c\uff08\u6bd4\u5982\u5bf9\u8d1f\u6570\u5f00\u5076\u6570\u6b21\u65b9\uff09\uff0c\u4e3a\u4e86\u4f7f\u65b9\u7a0b\u6709\u89e3\uff0c\u6211\u4eec\u5c06\u6570\u96c6\u518d\u6b21\u6269\u5145\u3002
\u5728\u5b9e\u6570\u57df\u4e0a\u5b9a\u4e49\u4e8c\u5143\u6709\u5e8f\u5bf9z=(a,b)\uff0c\u5e76\u89c4\u5b9a\u6709\u5e8f\u5bf9\u4e4b\u95f4\u6709\u8fd0\u7b97"+"\u3001"\u00d7"
(\u8bb0z1=(a,b),z2=(c,d))\uff1a
z1 +
z2=(a+c,b+d)
z1 \u00d7
z2=(ac-bd,bc+ad)
\u5bb9\u6613\u9a8c\u8bc1\uff0c\u8fd9\u6837\u5b9a\u4e49\u7684\u6709\u5e8f\u5bf9\u5168\u4f53\u5728\u6709\u5e8f\u5bf9\u7684\u52a0\u6cd5\u548c\u4e58\u6cd5\u4e0b\u6210\u4e00\u4e2a\u57df\uff0c\u5e76\u4e14\u5bf9\u4efb\u4f55\u590d\u6570z\uff0c\u6211\u4eec\u6709
z=(a,b)=(a,0)+(0,1)
\u00d7
(b,0)
\u4ee4f\u662f\u4ece\u5b9e\u6570\u57df\u5230\u590d\u6570\u57df\u7684\u6620\u5c04\uff0cf(a)=(a,0)\uff0c\u5219\u8fd9\u4e2a\u6620\u5c04\u4fdd\u6301\u4e86\u5b9e\u6570\u57df\u4e0a\u7684\u52a0\u6cd5\u548c\u4e58\u6cd5\uff0c\u56e0\u6b64\u5b9e\u6570\u57df\u53ef\u4ee5\u5d4c\u5165\u590d\u6570\u57df\u4e2d\uff0c\u53ef\u4ee5\u89c6\u4e3a\u590d\u6570\u57df\u7684\u5b50\u57df\u3002
\u8bb0(0,1)=i,\u5219\u6839\u636e\u6211\u4eec\u5b9a\u4e49\u7684\u8fd0\u7b97\uff0c(a,b)=(a,0)+(0,1)
\u00d7
(b,0)=a+bi\uff0ci
\u00d7
i=(0,1)
\u00d7
(0,1)=(-1,0)=-1\uff0c\u8fd9\u5c31\u53ea\u901a\u8fc7\u5b9e\u6570\u89e3\u51b3\u4e86\u865a\u6570\u5355\u4f4di\u7684\u5b58\u5728\u95ee\u9898\u3002
\u5f62\u5982
\u7684\u6570\u79f0\u4e3a\u590d\u6570\uff08complex
number)\uff0c\u5176\u4e2d\u89c4\u5b9ai\u4e3a\u865a\u6570\u5355\u4f4d\uff0c\u4e14
\uff08a\uff0cb\u662f\u4efb\u610f\u5b9e\u6570\uff09
\u6211\u4eec\u5c06\u590d\u6570\u4e2d\u7684\u5b9e\u6570a\u79f0\u4e3a\u590d\u6570z\u7684\u5b9e\u90e8\uff08real
part\uff09\u8bb0\u4f5cRez=a
\u5b9e\u6570b\u79f0\u4e3a\u590d\u6570z\u7684\u865a\u90e8\uff08imaginary
part\uff09\u8bb0\u4f5c
Imz=b.
\u5f53a=0\u4e14b\u22600\u65f6\uff0cz=bi\uff0c\u6211\u4eec\u5c31\u5c06\u5176\u79f0\u4e3a\u7eaf\u865a\u6570\u3002
\u590d\u6570\u7684\u96c6\u5408\u7528C\u8868\u793a\uff0c\u5b9e\u6570\u7684\u96c6\u5408\u7528R\u8868\u793a\uff0c\u663e\u7136\uff0cR\u662fC\u7684\u771f\u5b50\u96c6\u3002
\u590d\u6570\u96c6\u662f\u65e0\u5e8f\u96c6\uff0c\u4e0d\u80fd\u5efa\u7acb\u5927\u5c0f\u987a\u5e8f\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a
\u641c\u72d7\u767e\u79d1\uff0d\u590d\u6570
\u641c\u72d7\u767e\u79d1\uff0d\u865a\u6570
但复数的乘法却不是向量的乘法。这是由于，如果把复数乘法仍定义为向量的乘法，那么引入复数还有什么意义呢？直接用向量就可以了啊。
其实，复数乘法有更简洁的几何意义：旋转与拉伸！这正好弥补了向量乘法的局限。
当需要计算长度与夹角时，用向量乘法；当需要旋转与拉伸时用复数的乘法。这正是数学的奇妙之处 。
希望我的解释可以帮到你。
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