如何证明数列极限的唯一性 数列极限唯一性的证明
\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u552f\u4e00\u6027\u600e\u4e48\u8bc1\u660e\u8bbe\u5b58\u5728a\uff0cb\u4e24\u4e2a\u6570\u90fd\u662f\u51fd\u6570f(x)\u5f53x\u2192x\u3002\u7684\u6781\u9650\uff0c\u4e14a0\uff0c\u5f5300\uff0c\u5f530<\u4e28x-x\u3002\u4e28<\u03b42\u65f6\uff0c\u4f7f\u5f97\u4e28f\uff08x\uff09-b\u4e28<\u03b5\u6210\u7acb\u3002\u4e0a\u9762\u7684\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53ef\u4ee5\u7b49\u4ef7\u53d8\u6362\u4e3aa-\u03b5<f\uff08x\uff09<a+\u03b5\u2460\u548cb-\u03b5<f\uff08x\uff09<b+\u03b5\u2461\u3002\u4ee4\u03b4=min{\u03b41\uff0c\u03b42}\uff0c\u5f530<\u4e28x-x\u3002\u4e28<\u03b4\u65f6\u3002\u2460\uff0c\u2461\u540c\u65f6\u6210\u7acb\uff0c\u5373\uff1ab-\u03b5\u2264a+\u03b5\uff0c\u79fb\u9879\u5f97\uff1a(b-a)/2\u2264\u03b5,\u56e0\u4e3a(b-a)/2\u662f\u4e00\u4e2a\u786e\u5b9a\u5927\u5c0f\u7684\u6b63\u6570\uff0c\u6240\u4ee5\u8fd9\u4e2a\u7ed3\u8bba\u4e0e\u6781\u9650\u7684\u5b9a\u4e49\uff1a\u03b5\u53ef\u4ee5\u4efb\u610f\u5c0f\u77db\u76fe\uff0c\u5047\u8bbe\u4e0d\u6210\u7acb\uff0c\u56e0\u6b64\u4e0d\u5b58\u5728a\uff0cb\u4e24\u4e2a\u6570\u90fd\u662ff\uff08x\uff09\u7684\u6781\u9650\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u9996\u5148\u7528\u6781\u9650\u6982\u5ff5\u7ed9\u51fa\u2018\u5bfc\u6570\u2019\u7684\u6b63\u786e\u5b9a\u4e49\u7684\u662f\u6377\u514b\u6570\u5b66\u5bb6\u6ce2\u5c14\u67e5\u8bfa\uff0c\u4ed6\u628a\u51fd\u6570f(x)\u7684\u5bfc\u6570\u5b9a\u4e49\u4e3a\u5dee\u5546
\u7684\u6781\u9650f'(x)\uff0c\u4ed6\u5f3a\u8c03\u6307\u51faf'(x)\u4e0d\u662f\u4e24\u4e2a\u96f6\u7684\u5546\u3002\u6ce2\u5c14\u67e5\u8bfa\u7684\u601d\u60f3\u662f\u6709\u4ef7\u503c\u7684\uff0c\u4f46\u5173\u4e8e\u2018\u6781\u9650\u7684\u672c\u8d28\u2019\u4ed6\u4ecd\u672a\u63cf\u8ff0\u6e05\u695a\u3002
\u4e3a\u4e86\u6392\u9664\u6781\u9650\u6982\u5ff5\u4e2d\u7684\u76f4\u89c2\u75d5\u8ff9\uff0c\u7ef4\u5c14\u65af\u7279\u62c9\u65af\u63d0\u51fa\u4e86\u6781\u9650\u7684\u9759\u6001\u7684\u62bd\u8c61\u5b9a\u4e49\uff0c\u7ed9\u5fae\u79ef\u5206\u63d0\u4f9b\u4e86\u4e25\u683c\u7684\u7406\u8bba\u57fa\u7840\u3002\u6240\u8c13 \uff0c\u5c31\u662f\u6307\uff1a\u201c\u5982\u679c\u5bf9\u4efb\u4f55 \uff0c\u603b\u5b58\u5728\u81ea\u7136\u6570N\uff0c\u4f7f\u5f97\u5f53 n>N\u65f6\uff0c\u4e0d\u7b49\u5f0f \u6052\u6210\u7acb\u201d\u3002
\u2019\u6781\u9650\u601d\u60f3\u2019\u65b9\u6cd5\uff0c\u662f\u6570\u5b66\u5206\u6790\u4e43\u81f3\u5168\u90e8\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u5fc5\u4e0d\u53ef\u5c11\u7684\u4e00\u79cd\u91cd\u8981\u65b9\u6cd5\uff0c\u4e5f\u662f\u2018\u6570\u5b66\u5206\u6790\u2019\u4e0e\u5728\u2018\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u2019\u7684\u57fa\u7840\u4e0a\u6709\u627f\u524d\u542f\u540e\u8fde\u8d2f\u6027\u7684\u3001\u8fdb\u4e00\u6b65\u7684\u601d\u7ef4\u7684\u53d1\u5c55\u3002\u6570\u5b66\u5206\u6790\u4e4b\u6240\u4ee5\u80fd\u89e3\u51b3\u8bb8\u591a\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u65e0\u6cd5\u89e3\u51b3\u7684\u95ee\u9898,\u6b63\u662f\u7531\u4e8e\u5176\u91c7\u7528\u4e86\u2018\u6781\u9650\u2019\u7684\u2018\u65e0\u9650\u903c\u8fd1\u2019\u7684\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5.
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u6781\u9650
\u8981\u6ce8\u610f\u4e0a\u4e0b\u6587\u554a\uff0c\u539f\u6587\u5199\u5168\u5e94\u662f\uff1a
\u5bf9 \u4efb\u610f\u7684 \u03b5>0, ... |A-B| < 2\u03b5 ,\u4ece\u800c |A-B| =0\u3002
\u8fd9\u4e2a\u8bb2\u5230\u8fd9\u513f\u5e94\u8be5\u5c31\u518d\u660e\u767d\u4e0d\u8fc7\u4e86\uff0c0\u2264|A-B| \u80fd\u5c0f\u4e8e\u4efb\u4f55\u4e00\u4e2a \u6b63\u6570\uff0c\u90a3
\u5f53\u7136\u53ea\u6709\uff1a |A-B|=0 \u4e86\uff0c\u5373\uff1aA=B
\u5230\u6b64\u5c31\u597d\uff0c\u518d\u5f80\u4e0b\u8bb2\uff0c\u90a3\u5c31\u6bd4\u8f83\u9ebb\u70e6\u4e86\uff0c\u5373
\u5b9e\u6570\u7684 \u3010\u963f\u57fa\u7c73\u5fb7\u6027\u3011\uff1a\u5bf9\u4efb\u610f 0b
\u3002\u3002\u3002\u3002\u3002\u3002balabalabala\u3002\u3002\u3002\u3002\u3002
简单计算一下即可，答案如图所示
因为E是任意的。如果我们假设a,b不相等，即a与b的差值不为0，则我们设|a-b|=t,(t不等于0)则我们一定能找到一个E满足0<E<t/2 (例如取E=t/4,因为E是任意正数，所以一定能取到)则t>2E这样，式子|a-b|=|(xn - b)-(xn - a)|<=|xn - b|+|xn - a|<=E+E=2E即|a-b|=t<=2E就不能恒成立所以，假设错误，a必须等于b这样t=|a-b|=0,无论E取什么值均满足0=|a-b|<2E成立
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