高数一，数列的极限
\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\uff0c\u51fd\u6570\u6781\u9650\u6570\u5217\u6781\u9650\u3000\u3000\u8fd9\u662f Hiene \u5b9a\u7406\uff0c\u8be5\u5b9a\u7406\u7684\u8bc1\u660e\u8001\u5e08\u4e0a\u8bfe\u80af\u5b9a\u8981\u8bb2\u7684\uff0c\u4f60\u542c\u4e86\u5417\uff1f\u6570\u5b66\u4e0d\u662f\u7528\u6765\u770b\u7684\uff0c\u662f\u7528\u6765\u63a8\u5bfc\u7684\uff0c\u4f60\u63a8\u4e86\u5417\uff1f
\u3000\u3000\u638c\u63e1\u8be5\u5b9a\u7406\u662f\u5728\u6570\u5b66\u5206\u6790\u8bfe\u7a0b\uff08\u6570\u5b66\u7c7b\u4e13\u4e1a\u7684\u4e13\u4e1a\u57fa\u7840\u8bfe\uff09\u7684\u6559\u5b66\u8981\u6c42\u3002\u5982\u679c\u4f60\u53ea\u662f\u4f5c\u4e3a\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u6765\u5b66\u4e60\u7684\uff0c\u8fd9\u4e2a\u5b9a\u7406\u53ea\u8981\u4e86\u89e3\u5b83\uff08\u53ca\u5176\u63a8\u8bba\uff09\u7684\u7ed3\u8bba\u5e76\u4e14\u4f1a\u7528\u5c31\u53ef\u4ee5\u4e86\uff0c\u5927\u53ef\u4e0d\u5fc5\u6df1\u7a76\u3002
\u5982\u679c\u4e0d\u53bb\u8bc1\u660elim xn\u6781\u9650\u5b58\u5728\uff0c\u90a3\u4e48\u76f4\u63a5 2X + X = a+2b\uff0c\u5373\u53ef\u63a8\u51fa X = (a+2b)/3\u3002
\u3010\u6b63\u5e38\u7684\u505a\u6cd5\u662f\u3011
\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u4e58\u4ee5(-2)^n \u5f97\uff1a-(-2)^(n+1) x(n) + (-2)^n x(n-1) = (-2)^n (a+2b)
\u91c7\u7528\u9519\u9879\u76f8\u6d88\u5373\u53ef\u6c42\u51fa -(-2)^(n+1) x(n) + (-2)^2 x1 = [4-(-2)^(n+1)]/3 * (a+2b)
\u56e0\u6b64\u53ef\u5f97\u51fax(n)\u7684\u8868\u8fbe\u5f0f\uff0c\u53d6\u6781\u9650\u5373\u6c42\u51falim x(n) = (a+2b)/3
=|1/(2n)-1/(6n^2)|
=1/(2n)|1-1/(3n)| 【提取1/(2n) 】
∵3n≥1
∴1-1/(3n)<1
即|1-1/(3n)|<1
∴ 1/(2n)|1-1/(3n)| <1/(2n) 【放大】
后面的要用到数列极限的定义：
对任意的ε>0,总存在正整数N，当n>N时，|an-A|<ε总成立
那么an的极限为常数A
本例已经有|Un-1/3|<1/(2n)
需证明：对任意的ε>0,总存在正整数N，当n>N时，|Un-1/3|<ε总成立
只要证明n足够大时，1/(2n)<ε即可
即n>1/(2ε）设[1/(2ε)]=N （ [x]为取整数部分）
那么只要n>N就有 n>1/(2ε)就有1/(2n)<ε,就有|Un-1/3|<ε了
不明白，请追问
你细心化简，原式的分子上面画出来是 2n^2 - 3n + 1 分母是 6n^2 然后 化简出来就是上面的那个式子，1-1/3n 因为n趋于无穷大，所以1-1/3n是小于1的，也就是 1/2n|1-1/3n| 小于 1/2n......
绛旓細1銆佷粠鐮旂┒鐨勫璞＄湅鍖哄埆 鏁板垪鏄鏁ｅ瀷鍑芥暟銆 鑰屽嚱鏁版瀬闄愮爺绌剁殑瀵硅薄涓昏鏄叿鏈夛紙鍝曞眬閮ㄥ叿鏈夛級杩炵画鎬х殑鍑芥暟銆2銆佸彇鍊兼柟闈㈢殑鍖哄埆 鏁板垪涓殑涓嬫爣n浠呭彇姝ｆ暣鏁帮紝鑰屽鍑芥暟鑰岃█鍏惰嚜鍙橀噺x鍙栧间负瀹炴暟銆傚嚱鏁版瀬闄恌(X)涓嶺鐨勫彇鍊兼湁鍏筹紝鑰鏁板垪鏋侀檺Xn鍒欏彧鏄痭瓒嬪悜浜庢棤绌锋槸Xn鐨勫笺3銆佷粠鍥犲彉閲忚秼杩戞柟寮忕湅鍖哄埆 鏁板垪瓒嬭繎...
绛旓細鈶0 宸茬煡n涓烘鏁帮紝褰搉涓哄鏁帮紝缁撴灉绛変簬0锛屽綋n涓哄伓鏁帮紝缁撴灉涔熺瓑浜0銆傜患涓婏紝缁撴灉涓0銆傗憽1/2 宸茬煡n涓烘鏁帮紝褰搉鏃犵┓澶х殑鏃跺欙紝鑷劧鏁+1鍜-5鍙互蹇界暐涓嶈锛岀粨鏋滀负n/2n锛屽嵆鏄1/2銆傜患涓婏紝缁撴灉涓1/2銆傗憿0 鐢遍鍙煡锛宯涓烘鏁存暟锛屽綋n鏃犵┓澶ф椂锛屽垎姣嶆棤绌峰ぇ锛岀粨鏋滀负0銆傜患涓婏紝缁撴灉涓0銆
绛旓細2銆佺浜屼釜閲嶈鏋侀檺鐨勫叕寮忥細lim (1+1/x) ^x = e锛坸鈫掆垶锛夊綋x鈫掆垶鏃讹紝锛1+1/x锛夛季x鐨勬瀬闄愮瓑浜巈锛涙垨褰搙鈫0鏃讹紝锛1+x锛夛季锛1/x锛夌殑鏋侀檺绛変簬e銆傜浉鍏虫ц川锛1銆佸敮涓鎬э細鑻鏁板垪鐨勬瀬闄瀛樺湪锛屽垯鏋侀檺鍊兼槸鍞竴鐨勶紝涓斿畠鐨勪换浣曞瓙鍒楃殑鏋侀檺涓庡師鏁板垪鐨勭浉绛夈2銆佹湁鐣屾э細濡傛灉涓涓暟鍒楁敹鏁涳紙鏈夋瀬闄愶級...
绛旓細鍏跺疄鏄嘲鍕掑叕寮忋傞害鍏嬪姵鏋楀睍寮寮忎箻娉曞ぉ涓嬬涓鍏堝啓鍒棶鍞夈傘傛暟瀛楀笣鍥紾G娉涙互浣嗘槸鏄竴涓绠楀櫒缃戦〉銆傚彲浠ョ敤鐪佺暐鍙锋浛浠ｉ珮闃舵棤绌峰皬閲忋傛暣浣撴硶绛変环鏃犵┓灏忛嗗悜鎬濈淮鍙屽悜鎬濈淮銆傛礇蹇呰揪娉曞垯銆傛崲鍏冩硶銆傚叾涓鏁版槸logarithm鐨凩NX锛屼笉鏄痠nx銆
绛旓細楂樻暟鏋侀檺鐨勫畾涔夌悊瑙ｅ涓嬶細1銆侀珮鏁版瀬闄愮殑瀹氫箟鍖呮嫭涓や釜閲嶈鐨勬蹇碉紝鏀舵暃鍜屾敹鏁鐨勬瀬闄銆傛敹鏁涙槸鎸囨暟鍒楁湁涓涓瀬闄愶紝鍗冲綋n鏃犻檺澧炲ぇ鏃锛屾暟鍒楃殑椤规暟鏃犻檺澧炲ぇ锛岃屾暟鍒楃殑鍑芥暟鍊兼棤闄愭帴杩戞煇涓浐瀹氬笺傛敹鏁涚殑鏋侀檺鏄寚鏁板垪鏀舵暃鍚庢墍瓒嬪悜鐨勯偅涓浐瀹氬笺2銆侀珮鏁版瀬闄愮殑瀹氫箟涓繕娑夊強鍒颁换鎰忓皬姝ｆ暟鐨勬蹇点備换鎰忓皬姝ｆ暟鏄寚涓涓...
绛旓細杩欎釜鏁板垪鐨濂囨暟椤归兘鏄0锛屽鏁伴」鐨勬瀬闄涓0 杩欎釜鏁板垪鐨勫伓鏁伴」n=2k锛坘鏄鏁存暟锛塧2k=2锛2k+1锛/2k=锛2k+1锛/k 寰堝鏄撹瘉鏄庡伓鏁伴」鐨勬瀬闄愭槸2 鍥犱负濂囨暟椤瑰拰鍋舵暟椤圭殑鏋侀檺涓嶄竴鏍凤紝鎵浠ヨ繖涓暟鍒楁病鏈夋瀬闄銆
绛旓細鏁板垪涓殑n鏄寚鑷劧搴忓垪锛屼篃灏辨槸n=1锛2锛...浠ユ绫绘帹锛屼篃灏辨槸璇达紝n鍙彇姝ｆ暣鏁帮紝鎵浠ユ眰鏁板垪鐨勬瀬闄n鍙兘瓒嬩簬姝ｆ棤绌峰ぇ銆傚嚱鏁版瀬闄愪腑鐨剎鏄彉閲忥紝x鏄湁瀹氫箟鍩熼檺鍒剁殑锛屾墍浠ュ嚱鏁版瀬闄愪腑鐨剎鍙互瓒嬩簬浠绘剰涓涓
绛旓細浣犱笉鐞嗚В瀹氫箟闂锛鏋侀檺璇寸殑灏辨槸浠绘剰缁欏嚭涓涓>0锛岄兘鑳藉鎵惧埌涓涓狽锛屼娇n鍙杗>N鏃讹紝鏈墊Xn-a|<蔚 鍏抽敭灏卞湪浜庢垜浠兘鍚︽壘鍑鸿繖涓狽锛屼綘鎵鍐欑殑鏂规硶灏辨槸鍙嶆帹锛岀敤|Xn-a|<蔚鎺╪鐨勮寖鍥村啀鎺∟ 鍏蜂綋鐐癸細浠绘剰缁欏嚭涓涓碉紝蔚>0锛堣蔚<1)锛屽彧瑕1/(n+1)<蔚锛屻愭牴鎹畖Xn-a|=|(-1)^n/(n+1)^2...
绛旓細瑙佷笅鍥撅細
绛旓細1銆佹湁鏋侀檺鐨勬暟鍒楃О浣滄敹鏁涙暟鍒楋紝娌℃湁鏋侀檺鐨勬暟鍒楃О浣滃彂鏁ｆ暟鍒椼2銆佹敹鏁涚殑鏁板垪涓瀹氭湁鐣屻3銆佹敹鏁涙暟鍒楁弧瓒充繚鍙锋с4銆佹敹鏁涙暟鍒楃殑浠讳竴瀛鏁板垪鐨勬瀬闄閮戒笌璇ユ敹鏁涙暟鍒楃殑鏋侀檺鐩哥瓑銆傚叧浜庡嚱鏁扮殑鏋侀檺鏈夊洓涓渶瑕佺煡閬撶殑鐐癸細1銆佸悓涓鍙樺寲杩囩▼涓紝涓涓嚱鏁颁笉鍙兘鏈変袱涓瀬闄愩2銆佹敹鏁涚殑鍑芥暟灞閮ㄦ湁鐣屻3銆佹敹鏁涚殑鍑芥暟灞閮ㄦ弧瓒...
