行列式的性质
行列式，出见觉得茫然，细细了解，原来不过如此。行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。对于我们普通人来说，如果不是数学领域的专家学者，行列式也仅限于使用在“大学线性代数”。
方阵的行列式是一个数字，这个数字包含了矩阵的大量信息。首先，它立即告诉了我们这个矩阵是否可逆。矩阵的行列式为零的话，矩阵就没有逆矩阵。当A可逆的时候，其逆矩阵A−1的行列式为1/det（A）。行列式可以用来求逆矩阵、计算主元和求解方程组，但是我们很少这样做，因为消元会更快。
性质 1：detI=1，单位矩阵的行列式为 1 ，与之对应的是单位立方体的体积是 1。此处可以使用交叉运算，但是要记住正负号。
性质 2：当两行进行交换的时候行列式改变符号。由这个性质，我们可以很容易得到所有置换矩阵的行列式，置换矩阵都是由单位矩阵演化而来，当有奇数次行交换时，detP=−1；当有偶数次行交换时，detP=1。
记忆法：置换行列式，奇数次与偶数次互为相反数。
性质 3：行列式是单独每一行的线性函数（其它行不变）。
若某一行乘以t，行列式就也乘以t(t可为任意不为0的自然整数)。如果某一行加上另一行，行列式就也相加。
这不意味着2I=2detI，2I是对其中的每一行都乘以 2，因此要乘以2的n次方。
方阵的行列式是一个数字，这个数字包含了矩阵的大量信息。首先，它立即告诉了我们这个矩阵是否可逆。矩阵的行列式为零的话，矩阵就没有逆矩阵。当A可逆的时候，其逆矩阵A−1的行列式为1/det(A)。
行列式可以用来求逆矩阵、计算主元和求解方程组，但是我们很少这样做，因为消元会更快。
对于上述矩阵，如果行列式ad-bc为零的话，我们不能除以零，也就是没有逆矩阵。其主元为a和d−(c/a)b，主元的乘积就是行列式的值。
行列式有三个基本的性质，由这三个性质我们可以计算任意方针的行列式，A的行列式记作det(A)或者|A|。
性质 1：detI=1，单位矩阵的行列式为 1 ，与之对应的是单位立方体的体积是 1。
入图片描述
性质 2：当两行进行交换的时候行列式改变符号。
由这个性质，我们可以很容易得到所有置换矩阵的行列式，置换矩阵都是由单位矩阵演化而来，当有奇数次行交换时， detP =−1；当有偶数次行交换时， detP=1。
性质 3：行列式是单独每一行的线性函数（其它行不变）。
若某一行乘以t，行列式就也乘以t。如果某一行加上另一行，行列式就也相加。
这不意味着2I=2detI，2�是对其中的每一行都乘以 2，因此要乘以2n。
这就像面积或圆敏者体积一样，长方形的长和宽都变为原来的 2 倍的话，面积就会变为 4 倍。
性质 4：当矩阵中有两行一样的话，det(A)=0。
性质 5：用矩阵的一行减去另一行的倍数，行列式不变。
利用性质 2，我们对这两行进行行交局中换，矩阵仍然保持不变，但其行列式需要变号，那么行列式只能为零。
在消元的过程中，行列式不会改变，如果有行交换的话，符号不同，因此有detA=±detU。
性质 6：当矩阵的某一行全为零的时候，行列式为零。
利用性质 5，将全零行加上另外一行。
性质 7：如果矩阵是三角形的，那么行列式等于对角线上元素的乘积。
利用性质 5，我们可以将对角线上面或者下面的元素通过消元法全部变成 0，这不会改变行列式的值。然后，矩阵就只有对角线上有非零值，我桐腔山们再利用性质 3 将每行的系数提取出来，矩阵就变成了单位矩阵。
性质 8：如果矩阵是可逆的那么det(A)≠0，反之det(A)=0。
性质1、行列式的转置，值不变。即 D^{T}=D。
从定义出发，行列式是不同行不同列元素的乘积。从排列组合上讲，行列式的组合是有限的，转置之前和转置之后，组合种类完全相同。而逆序数，从定义出发来看，和行列的逆序都有关，在转置的过程中，行变成列、列变成行，对于逆序数实际上是不变的。所以行列式转置，它的展开式不变。证明略。
性质2、两行互换，值变号。
（定义法）证明：
对于任意的Det D，进行展开后，若按照列展开，符号等于 （）（−1）t。
交换两行，按照行（从上到下）展开，实际上就交换了这两行里面的这两个数的位置。
交换两个数的位置，逆序数奇偶性改变。所以t改变，所以符号改变。
性质3、如图对于展开后的每一项，交换前后，都交换了这两行的数字。（abcdef变成了afcdeb）
推论：两行相等的两个行列式，D=0。
证明：交换行列式相等的这两行，得到D=-D，所以D=0。
性质4：某一行都乘以k，等于用k乘以D。
对于det D，某行同时除以k，可以发现展开式，每一项都会乘以这一行的某一个数，也就是说，展开后可以提取一个k。
性质5：两行对应成比例，D=0。
证明：提取比例值后，会发现两行相等。
推论：某一行全为0，D=0。
证明：展开后，每一项都有0，所以D=0。
性质6： 某行等于两数之和，等于这一行分开后的两个行列式之和。
证明：展开式可以发现任意一项 （）（−1）t×a11a12…a1n ，将a拆分为（i+j），
得到 （）（）（）（−1）t×a11a12…(i+j)…a1n=（−1）t×a11a12…i…a1n+（−1）t×a11a12…j…a1n。
我们发现，如果某一行全都是两个数的形式，可以变成两个全新的行列式，该行列式是原本的行列式用i和j分别替换后形成的。
性质7：det A某行乘以一个数，加到另一行上，行列式保持不变。
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