反三角函数定义域,值域,导数?
反三角函数是基本初等函数的重要组成部分,但似乎又是许多人常问的主体之一。为了方便理解和查询,本文总结了以下内容:
常见的六种三角函数对应的反三角函数的定义、定义域、值域,并给出对应三角形图示汇总、对应图象汇总
利用反函数求导法则完成了上述所有反三角函数的导数公式的推导,并详细总结了其值域、定义域等内容
常见的六种三角函数可以分别由以下六种三角形表示
反三角函数是三角函数的反函数。若将上图中所有x,y 调换位置则得到反三角函数的图示:
- 标
- 部分主要是要把上一步完全由
- 表示,由于有以下恒等关系
- i)
- 因此:
- ii) 这时必须注意到
- 的取值范围
- (见表1.)。而在这一步中不能取任何一个端点。同时注意到:
- 时:
- 都大等于
- 时:
- 都小等于
- 因此:
- 综上:标
- 步的写法可以保证这一不等关系始终成立。
本文内容也可作为备忘资料以便查阅使用。
一、常用三角函数与反三角函数
图1.三角函数及其对应三角形
图2.反三角函数及其对应三角形
上述反三角函数的图象如下图所示:
图3.反三角函数的图象
在使用反三角函数时一定要注意其定义值和值域。
表1. 反三角函数的定义值及值域
请点击输入图片描述
二、反三角函数的导数的推导过程
反函数求导公式在另一篇笔记里已经回顾过:关于反函数的高阶导数
反函数的导 数等于直接函数的导数的倒 数。
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
先给结论:
表2. 反三角函数的导数及其定义域
请点击输入图片描述
接下来依次证明:
1、反正弦函数的导数
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
2、反余弦函数 的导数
请点击输入图片描述
证法I: 类似推导
请点击输入图片描述
证法II:由,于是
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
3、反正切函数 的导数
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
4、反余切函数 的导数
请点击输入图片描述
证法I:类似3,略。
证法II: 类似2,由,于是
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
5、反正割函数 的导数
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
6、反余割函数 的导数
请点击输入图片描述
证法I:类似5,略。
证法II: 类似2,由,于是
请点击输入图片描述
小结
请点击输入图片描述
本文简单总结了反三角函数的定义、其对应的三角函数、其定义域、值域,其后利用反函数求导法则完成了所有反函数求导公式的推导证明。不难看出上述推导过程其实都并不复杂(除反正割、反余割函数外),若能熟练使用各种三角函数变换技巧则能轻松完成所有证明。在实际使用三角函数时,图1,图2给出的图示十分有用,尤其在考虑积分换元时。另外,在使用反三角函数时,一定要明确各个三角函数的定义域及值域,这一点在第5个证明中体现得较为明显。若忽视这些细节,则十分容易出错。
绛旓細鍙嶄笁瑙掑嚱鏁鏄笁瑙掑嚱鏁扮殑鍙嶅嚱鏁銆傝嫢灏嗕笂鍥句腑鎵鏈墄,y 璋冩崲浣嶇疆鍒欏緱鍒板弽涓夎鍑芥暟鐨勫浘绀猴細鍥2.鍙嶄笁瑙掑嚱鏁板強鍏跺搴斾笁瑙掑舰 涓婅堪鍙嶄笁瑙掑嚱鏁扮殑鍥捐薄濡備笅鍥炬墍绀猴細鍥3.鍙嶄笁瑙掑嚱鏁扮殑鍥捐薄 鍦ㄤ娇鐢ㄥ弽涓夎鍑芥暟鏃朵竴瀹氳娉ㄦ剰鍏瀹氫箟鍊煎拰鍊煎煙銆傝〃1. 鍙嶄笁瑙掑嚱鏁扮殑瀹氫箟鍊煎強鍊煎煙 璇风偣鍑昏緭鍏ュ浘鐗囨弿杩 浜屻佸弽涓夎鍑芥暟鐨瀵兼暟鐨...
绛旓細璁颁负y=arc sinx銆傛妸鍘熷嚱鏁皔=sinx,x鈭圼-蟺/2,蟺/2]鐨鍊煎煙[-1,1],鍙仛鍙嶅嚱鏁y=arc sinx鐨瀹氫箟鍩銆傚苟鎶婂師鏁皔=sinx,x鈭圼-蟺/2,蟺/2]鐨勫畾涔夊煙[-蟺/2,蟺/2],鍙仛鍙嶅嚱鏁皔=arc sinx鐨勫煎煙銆鍙嶄笁瑙掑嚱鏁闂寰寰瑕佽浆鍖栦负涓夎鍑芥暟闂锛屽洜涓哄悗鑰呮嫢鏈夋暟鍗佷釜鍏紡璧勬簮锛屼娇浣犺В鍐抽棶棰樻椂濡傝檸娣荤考銆
绛旓細鍙嶄笁瑙掑嚱鏁板鏁鍏紡涓猴細锛坅rcsinx锛夛紘锛1/鈭氾紙1-x²锛夛紱锛坅rccosx锛夛紘锛-1/鈭氾紙1-x²锛夛紱锛坅rctanx锛夛紘锛1/锛1锛媥²锛夛紱锛坅rccotx锛夛紘锛-1/锛1锛媥²锛夈備竴銆佸弽涓夎鍑芥暟绠浠 鍙嶄笁瑙掑嚱鏁版槸涓绉嶆牴鏈垵绛夊嚱鏁般傚畠鏄í绔栧鸡arcsinx锛屽弽浣欏鸡arccosx锛屾í绔栧垏arctanx锛屽弽浣...
绛旓細鍙嶄綑寮﹀嚱鏁帮紙arccos锛夋槸浣欏鸡鍑芥暟鐨鍙嶅嚱鏁锛屼篃璁颁綔acos銆傚畠鐨瀹氫箟鍩涓烘暣涓疄鏁伴泦锛屽煎煙涓轰粠0鍒跋鐨勫尯闂淬傚弽浣欏鸡鍑芥暟鍦ㄧ洿瑙掑潗鏍囩郴涓嬬殑鍥惧儚鍛堢幇鍑轰竴绉嶈繛缁笖骞虫粦鐨勬洸绾匡紝鍏瀵兼暟鍑芥暟涓簓'=-1/锛1-x^2锛塣锛1/2锛夈鍙嶄笁瑙掑嚱鏁鐨姹傚鍏紡鐨勭壒鐐癸細1銆鍑芥暟鍊煎煙鐨勯檺鍒讹細鍙嶄笁瑙掑嚱鏁扮殑瀹氫箟鍩熼氬父鏈夐檺鍒躲備緥濡...
绛旓細鍙嶄笁瑙掑嚱鏁鐨姹傚鍏紡 鍙嶆寮︾殑姹傚锛氾紙arcsinx锛'=1/鈭氾紙1-x^2锛夊弽浣欏鸡鐨勬眰瀵硷細锛坅rccosx锛'=-1/鈭氾紙1-x^2锛夊弽姝e垏鐨勬眰瀵硷細锛坅rctanx锛'=1/锛1+x^2锛夊弽浣欏垏鐨勬眰瀵硷細锛坅rccotx锛'=-1/锛1+x^2锛
绛旓細瀹氫箟鍩锛-鈭烇紝-1]U[1锛+鈭烇級锛屽煎煙[0锛屜/2锛塙锛埾/2锛屜]銆7銆佸弽浣欏壊鍑芥暟 浣欏壊鍑芥暟y=csc x鍦╗-蟺/2锛0锛塙锛0锛屜/2]涓婄殑鍙嶅嚱鏁帮紝鍙仛鍙嶄綑鍓插嚱鏁般傝浣渁rccscx锛岃〃绀轰竴涓綑鍓插间负x鐨勮锛岃瑙掔殑鑼冨洿鍦╗-蟺/2锛0锛塙锛0锛屜/2]鍖洪棿鍐呫傚畾涔夊煙锛-鈭烇紝-1]U[1锛+鈭烇級锛屽煎煙[...
绛旓細鍙嶄笁瑙掑嚱鏁鐨勫拰宸叕寮忎笌瀵瑰簲鐨勪笁瑙掑嚱鏁扮殑鍜屽樊鍏紡娌℃湁鍏崇郴 y=arcsin(x)锛屽畾涔夊煙[-1锛1]锛屽煎煙[-蟺/2,蟺/2]y=arccos(x)锛屽畾涔夊煙[-1锛1]锛屽煎煙[0锛屜]y=arctan(x)锛屽畾涔夊煙(-鈭烇紝+鈭)锛屽煎煙(-蟺/2锛屜/2)y=arccot(x)锛屽畾涔夊煙(-鈭烇紝+鈭)锛屽煎煙(0锛屜)sin(arcsinx)=x锛屽畾涔...
绛旓細arcsin 1=pi/2 arcsin 0.5=pi/6 arcsin (浜屽垎涔嬫牴浜)=pi/4 arcsin (浜屽垎涔嬫牴涓)=pi/3 arcsin 0=0 arcsin -1=-pi/2 arccos 1=0 arccos 0.5=pi/3 arccos (浜屽垎涔嬫牴浜)=pi/4 arccos (浜屽垎涔嬫牴涓)=pi/6
绛旓細鍙嶄笁瑙掑嚱鏁鐨勪笉瀹氱Н鍒嗗涓嬶細鍙嶄笁瑙掑嚱鏁扮殑鍒嗙被 1銆佸弽姝e鸡鍑芥暟 姝e鸡鍑芥暟y=sin x鍦╗-蟺/2锛屜/2]涓婄殑鍙嶅嚱鏁锛屽彨鍋氬弽姝e鸡鍑芥暟銆傝浣渁rcsinx锛岃〃绀轰竴涓寮﹀间负x鐨勮锛岃瑙掔殑鑼冨洿鍦╗-蟺/2锛屜/2]鍖洪棿鍐呫瀹氫箟鍩[-1锛1] 锛屽煎煙[-蟺/2锛屜/2]銆2銆佸弽浣欏鸡鍑芥暟 浣欏鸡鍑芥暟y=cos x鍦╗0锛屜]...
绛旓細鍙嶄笁瑙掑嚱鏁鐨勫叕寮 鍙嶄笁瑙掑嚱鏁扮殑鍜屽樊鍏紡涓庡搴旂殑涓夎鍑芥暟鐨勫拰宸叕寮忔病鏈夊叧绯伙細y=arcsin(x)锛屽畾涔夊煙[-1锛1]锛屽煎煙[-蟺/2,蟺/2]锛泍=arccos(x)锛屽畾涔夊煙[-1锛1]锛屽煎煙[0锛屜]锛泍=arctan(x)锛屽畾涔夊煙(-鈭烇紝+鈭)锛屽煎煙(-蟺/2锛屜/2)锛泍=arccot(x)锛屽畾涔夊煙(-鈭烇紝+鈭)锛屽煎煙(0锛屜...