求所有上三角行列式组成的线性空间的维数和一组基，可能与原题有出入，大概是这样的题目，求解，不胜感激 求n阶全体对称矩阵所成的线性空间的维数与一组基
\u6c42n\u9636\u5168\u4f53\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u6240\u6210\u7684\u7ebf\u6027\u7a7a\u95f4\u7684\u7ef4\u6570 ?\u89e3\u7b54\u5982\u4e0b\uff1a
\u6570\u5b66\u57fa\u7840\u4e0d\u597d\u600e\u4e48\u529e\uff1a
\u6570\u5b66\u5728\u4e16\u754c\u8303\u56f4\u91cc\u90fd\u88ab\u4f17\u591a\u56fd\u5bb6\u4f5c\u4e3a\u4e00\u95e8\u6700\u57fa\u672c\u7684\u5b66\u79d1\uff0c\u539f\u56e0\u5c31\u662f\u5b83\u53ef\u4ee5\u57f9\u517b\u4e00\u4e2a\u4eba\u6700\u57fa\u672c\u7684\u903b\u8f91\u610f\u8bc6\u53ca\u80fd\u529b\u3002
\u6570\u5b66\u57fa\u7840\u4e0d\u597d\u6700\u6839\u672c\u7684\u539f\u56e0\u5c31\u662f\u5c0f\u5b69\u7684\u903b\u8f91\u610f\u8bc6\u53ca\u601d\u7ef4\u6ca1\u6709\u5177\u5907\u6216\u4e0d\u8db3\u3002\u6211\u4eec\u56fd\u5bb6\u73b0\u6709\u7684\u6570\u5b66\u8bfe\u672c\u8fd8\u662f\u5f88\u597d\u7684\uff1a\u5b83\u4ece\u6700\u57fa\u672c\u7684\u64cd\u4f5c\uff08\u6570\u68d2\uff09\u5f00\u59cb\u57f9\u517b\u8fd9\u79cd\u610f\u8bc6\uff0c\u4ece\u52a0\u6cd5\u63a8\u51fa\u51cf\u6cd5\uff0c\u800c\u540e\u662f\u4e58\u6cd5\u5230\u9664\u6cd5\u3002
\u5728\u8fd9\u4e2a\u8fc7\u7a0b\u4e2d\u4e00\u4e9b\u6700\u57fa\u672c\u7684\u903b\u8f91\u601d\u7ef4\u6216\u662f\u610f\u5fd7\u5176\u5b9e\u5c31\u57f9\u517b\u8d77\u6765\u4e86\u3002\u800c\u540e\u7684\u5b66\u4e60\u57fa\u672c\u90fd\u662f\u4e00\u73af\u63a5\u4e00\u73af\u63a8\u51fa\u516c\u5f0f\u7136\u540e\u7ec3\u4e60\u8fd0\u7528\uff0c\u53cd\u8fc7\u6765\u5728\u8bc1\u660e\u4e0b\u4e00\u4e2a\u516c\u5f0f\u63a8\u51fa\u7684\u524d\u63d0\u3002
\u5c0f\u5b69\u6570\u5b66\u57fa\u7840\u4e0d\u597d\uff0c\u5148\u522b\u7740\u6025\u3002\u51b7\u9759\u5206\u6790\u4e00\u4e0b\u5c0f\u5b69\u662f\u56e0\u4e3a\u6700\u57fa\u672c\u7684\u903b\u8f91\u601d\u7ef4\u4e0d\u8db3\u8fd8\u662f\u516c\u5f0f\u8bb0\u4e0d\u4f4f\uff1f\u8fd8\u662f\u516c\u5f0f\u8fd0\u7528\u4e0d\u5bf9\uff1f\u7b49\u7b49\u3002\u7136\u540e\u6709\u7684\u653e\u77e2\uff0c\u9488\u5bf9\u4e0d\u8db3\u52a0\u5f3a\u8d77\u6765\u5c31\u4f1a\u6709\u6548\u679c\u7684\u3002\u8fd9\u4e8b\u6700\u597d\u81ea\u5df1\u6765\u64cd\u4f5c\uff0c\u6709\u70b9\u8010\u5fc3\u3002\u522b\u8ba9\u4eba\u8f85\u5bfc\u6216\u662f\u8bf7\u6559\u4e13\u5bb6\u4ec0\u4e48\u7684\uff0c\u56e0\u4e3a\u8fd9\u4e2a\u4e16\u754c\u4e0a\u5e94\u8be5\u4e86\u89e3\u5c0f\u5b69\u7684\u4e0d\u662f\u4f60\u51fa\u94b1\u6216\u627e\u6765\u7684\u4eba\uff0c\u800c\u662f\u4ed6\u7684\u7236\u6bcd\u3002
\u5148\u51b3\u5b9a\u4e86\u8fd9\u6837\u6765\u63d0\u9ad8\u6216\u89e3\u51b3\u95ee\u9898\u7684\u601d\u8def\uff0c\u5c0f\u5b69\u559c\u6b22\u4ec0\u4e48\u65b9\u6cd5\u5c31\u7528\uff0c\u4e89\u53d6\u505a\u5230\u4e00\u4e2a\u6709\u7684\u653e\u77e2\u7684\u6559\u80b2\uff0c\u4e00\u4e2a\u9ad8\u5174\u7684\u53bb\u5b66\u3002\u8fd9\u79cd\u5c40\u9762\u4e0d\u6b62\u80fd\u8ba9\u4f60\u89e3\u51b3\u95ee\u9898\uff0c\u5b69\u5b50\u4e0e\u7236\u6bcd\u7684\u60c5\u8c0a\u4e5f\u4f1a\u5728\u8fd9\u8fc7\u7a0b\u4e2d\u6709\u66f4\u6df1\u7684\u5efa\u7acb\uff0c\u8ba9\u5b69\u5b50\u83b7\u5f97\u6210\u529f\u5e26\u7ed9\u4ed6\u66f4\u5927\u66f4\u591a\u7684\u4fe1\u5fc3\uff0c\u4e3a\u5e94\u5bf9\u4ee5\u540e\u7684\u4eba\u751f\u79ef\u7d2f\u8d44\u672c\u3002
1\u3001n\u9636\u5168\u4f53\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u6240\u6210\u7684\u7ebf\u6027\u7a7a\u95f4\u7684\u7ef4\u6570\u662f (n^2 - n )/2 + n \u5176\u5b9e\u5c31\u662f\uff1a
\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u4e2a\u6570 + \u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e0a\u65b9\u7684\u5143\u7d20\u4e2a\u6570
\u8fd9\u4e9b\u5143\u7d20\u6240\u5728\u7684\u4f4d\u7f6e\uff0c\u552f\u4e00\u786e\u5b9a\u4e00\u4e2a\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u3002
2\u3001\u6240\u4ee5\u6709\uff1a
\u8bbe Eij \u4e3a \u7b2ci\u884c\u7b2cj\u5217\u4f4d\u7f6e\u662f1\u5176\u4f59\u90fd\u662f0\u7684n\u9636\u65b9\u9635
\u5219 n\u9636\u5168\u4f53\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u6240\u6210\u7684\u7ebf\u6027\u7a7a\u95f4\u7684\u4e00\u7ec4\u57fa\u4e3a:{ Eij,i,j = 1,2,...,n,i
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u7ef4\u6570\u52a0\u6cd5\u5b9a\u7406(addition theorem of dimension)\u5173\u4e8e\u7ef4\u6570\u7684\u4e00\u7ec4\u5b9a\u7406:
1.\u82e5X,Y\u4e3a\u53ef\u5ea6\u91cf\u5316\u7a7a\u95f4\u7684\u53ef\u5206\u5b50\u7a7a\u95f4\uff0c\u5219
ind <XUY)\u9547ind X\u5341ind Y\u53411.
\u8fd9\u662f\u56fe\u9a6c\u57fa(Tumarkin,L. A.)\u4e8e1926\u5e74\uff0c\u8d6b\u7ef4\u8328(Hurewicz , W.)\u4e8e1927\u5e74\u63d0\u51fa\u7684.
2.\u82e5X,Y\u4e3a\u5b8c\u5168\u6b63\u89c4\u7a7a\u95f4\u7684\u5b50\u7a7a\u95f4\uff0c\u5219
Ind (X U Y) <Ind X\u5341Ind Y\u53411.
3.\u82e5X,Y\u4e3a\u5b8c\u5168\u6b63\u89c4\u7a7a\u95f4\u7684\u5b50\u7a7a\u95f4\uff0c\u5219
dim (X U Y)\u9547 dim X\u5341dim Y\u53411.
\u5b9a\u74062\u4e0e3\u662f\u65af\u7c73\u5c14\u8bfa\u592b(Cmapuos, IO. V1.)\u4e8e1951\u5e74\u634d\u51fa\u7684.
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u7ef4\u6570\u52a0\u6cd5\u5b9a\u7406\u2014\u2014\u767e\u5ea6\u767e\u79d1
n阶上三角矩阵构成的线性空间的维数为 n+(n-1)+...+1 = n(n+1)/2。
基可由这样的矩阵构成：Eij，1<= i <= j <= n。
Eij的第i行第j列元素为1，其余元素为0。
维数：n(n+1)/2. 基：对角线元是1，其余全是0的对称阵，共n个；第i行第j列和第j行第i列为1，其余为0的对称阵（i和j不相等），共n(n-1)/2个，相加为n(n+1)/2个。
性质
①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。
n阶上三角矩阵构成的线性空间的维数为 n+(n-1)+...+1 = n(n+1)/2
基可由这样的矩阵构成: Eij, 1<= i <= j <= n
Eij 的第 i行第j列元素为1, 其余元素为0
绛旓細鍩哄彲鐢辫繖鏍风殑鐭╅樀鏋勬垚锛欵ij锛1<= i <= j <= n銆侲ij鐨勭i琛岀j鍒楀厓绱犱负1锛屽叾浣欏厓绱犱负0銆傜淮鏁帮細n(n+1)/2. 鍩猴細瀵硅绾垮厓鏄1锛屽叾浣欏叏鏄0鐨勫绉伴樀锛屽叡n涓紱绗琲琛岀j鍒楀拰绗琷琛岀i鍒椾负1锛屽叾浣欎负0鐨勫绉伴樀锛坕鍜宩涓嶇浉绛夛級锛屽叡n(n-1)/2涓紝鐩稿姞涓簄(n+1)/2涓傛ц川 鈶琛屽垪寮A涓...
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绛旓細c1+(x/y)c2+(x/z)c3 1+x+2x/y+3x/z 2 3 0 y 0 0 0 z = (1+x+2x/y+3x/z)*yz = xyz+yz+2xz+3xy.褰搙yz=0鏃, 鍙獙璇佷笂寮忎粛鎴愮珛.鏁呮湁 D = xyz+yz+2xz+3xy.--- 涔熷彲浠ョ敤琛屽垪寮忕殑鍒嗘媶鎬ц川灏嗚鍒楀紡鍒嗘媶涓8涓鍒楀紡鐨勫拰 D= x 0 0 1 0 0 x...
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绛旓細(7) D = |1 2 3 4 5| |0 -5 -10 -15 -20| |0 1 0 1 1| |0 0 0 1 3| |0 0 0 2 4| D = -5 |1 2 3 4 5| |0 1 2 3 4| ...
