高中数学不等式竞赛题 高中数学不等式17题
\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\u7ade\u8d5b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7ade\u8d5b\u9898\u672c\u6765\u5c31\u5f88\u96be\u3002\u5982\u679c\u5355\u5355\u9760\u8bfe\u5185\u5b66\u4e60\u7684\u77e5\u8bc6\u80fd\u7b54\u53ca\u683c\u5c31\u4e0d\u9519\u4e86\uff0c\u4f60\u53ef\u4ee5\u53bb\u8bfb\u4e00\u4e9b\u7ade\u8d5b\u6709\u5173\u7684\u4e66(\u5927\u4e00\u4e9b\u7684\u4e66\u5e97\u5e94\u8be5\u6709)\uff0c\u4e5f\u80fd\u5bf9\u4f60\u4ee5\u540e\u5b66\u4e60\u90a3\u4e2a\u79d1\u76ee\u6709\u4e00\u5b9a\u5e2e\u52a9\u3002
\u4f9b\u53c2\u8003\u3002
其实这题目很锻炼思维的,下面是我的解答,大家看看对不对。(看图片,文字是latex代码)
由于对于任意$x,y,z \ge 0$,有$(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$.
把$x=bc,y=ca,z=ab$代入得到,$(bc+ca+ab)^2 \ge 3abc(a+b+c)=9abc$,所以$ab+bc+ca \ge 3\sqrt{abc}$
所以由平均值不等式得到,
\[\sqrt[3]{9abc(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt[3]{3\sqrt{abc} \cdot 3\sqrt{abc}(a^2+b^2+c^2)} \]
\[\le \frac{3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+a^2+b^2+c^2}{3}\le \frac{2(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2}{3}=3\].
从而证明了$abc(a^2+b^2+c^2)\le 3$.即所需的不等式.
(1)首先由不等式定理x^3+y^3+z^3>=3xyz,(x、y、z∈R+)知：a、b、c∈R+，且a+b+c=3推出：
abc<=1 ----------(*1)
(2)然后（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc，这其中有：
2ab+2ac+2bc>=6(abc)^(2/3)-------(*2)
而由(*1)知：(abc)^(2/3)>=abc -----(*3)
从而由(*2)、(*3)知：
（a+b+c）^2>=(a^2+b^2+c^2)+6abc ------(*4)
(3)观察(*4)左边为9，右边>=2*(a^2+b^2+c^2)^(1/2) * (6abc)^(1/2)
左右两边平方得：81>=24abc（a^2+b^2+c^2)
从而84>81>=24abc（a^2+b^2+c^2)得：
abc（a^2+b^2+c^2)≤3
PS:写的有点凌乱，但是思路应该挺清晰的：）
郁闷啊！刚答的好像都不见了，估计我手机输入长度有限制，我简要述说思路，设b为已知，令a=(3/2-b/2)- 根号t，c=(3/2-b/2)+根号t，b有范围，设函数=左边-3，得到关于t的二次函数，开口向下，只要证明最大值恒小于等于0！其最大值函数是把对称轴带入，得到关于b的函数，求导，得最大值函数的最大最小值，其最大值也是小于等于0的，就证明了！
借鉴于杨满川老师的方法，致敬！
令f(x)=x^2 易知，f(x)是凸函数
由琴生不等式，知 f((a+b+c)/3)≤(f(a)+f(b)+f(c))/3
即 ((a+b+c)/3)^2=1≤(a^2+b^2+c^2)/3
由均值不等式，a+b+c=3 知 abc≤1
非常抱歉，只能做到这儿了。式子的不等号方向存在问题
证明：∵a、b、c∈R+，且a+b+c=3，
∴设a=1-x,b=1，c=1+x,x＜1
abc(a^2+b^2+c^2)=(1-x^2)[(1-x)^2+1+（1+x)^2]=(1-x^2)(3+2x^2)=3-x^2-2x^4≤3
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