矩阵的维数怎样求？
n阶对称矩阵的主控元素是主对角线上方(含主对角线)的元素记 Eij 为 第i行第j列元素为1, 第j行第i列元素为1, 其余全是0 的n阶矩阵
则 Eij, i<=j 就构成一组基
共有 n+(n-1)+...+1 = n(n+1)/2 个
所以其维数为 n(n+1)/2.
因为n阶反对称矩阵主对角线上的元素必为0, 主控元素是主对角线上方(不含主对角线)的元素
所以其维数少n(少主对角线上n个主控元)
(n-1)+...+1 = n(n-1)/2
绛旓細鎵浠缁存暟涓 n(n+1)/2.
绛旓細鎵╁睍璧勬枡 鏄剧劧rA鈮in(m,n) 鏄撳緱锛氳嫢A涓嚦灏戞湁涓涓猺闃跺瓙寮忎笉绛変簬闆讹紝涓斿湪r<min(m,n)鏃讹紝A涓墍鏈夌殑r+1闃跺瓙寮忓叏涓洪浂锛屽垯A鐨勭З涓簉銆備篃灏辨槸瑕佽绠楀畠鐨勫瓙寮,褰撹绠楄嚦r闃跺瓙寮忎笉绛変簬闆,鑰宺+1闃跺瓙寮忕瓑浜庨浂鏃,鐭╅樀鐨勭淮鏁(绉)灏变负r銆備綍涓虹煩闃碉紵鍦ㄦ暟瀛︿腑锛岀煩闃碉紙Matrix锛夋槸涓涓寜鐓ч暱鏂...
绛旓細鍏辨湁 n+(n-1)+...+1 = n(n+1)/2 涓 鎵浠ュ叾缁存暟涓 n(n+1)/2.鍥犱负n闃跺弽瀵圭О鐭╅樀涓诲瑙掔嚎涓婄殑鍏冪礌蹇呬负0, 涓绘帶鍏冪礌鏄富瀵硅绾夸笂鏂(涓嶅惈涓诲瑙掔嚎)鐨勫厓绱 鎵浠ュ叾缁存暟灏憂(灏戜富瀵硅绾夸笂n涓富鎺у厓)(n-1)+...+1 = n(n-1)/2 ...
绛旓細瑙ｅ喅鏂规1锛氱淮鏁帮細n(n+1)/2. 鍩猴細瀵硅绾垮厓鏄1锛屽叾浣欏叏鏄0鐨勫绉伴樀锛屽叡n涓紱绗琲琛岀j鍒楀拰绗琷琛岀i鍒椾负1锛屽叾浣欎负0鐨勫绉伴樀锛坕鍜宩涓嶇浉绛夛級锛屽叡n(n-1)/2涓紝鐩稿姞涓簄(n+1)/2涓傝В鍐虫柟妗2锛氫綘鍦ㄥ绾挎т唬鏁帮紵姹俷闃跺叏浣撳绉扮煩闃垫墍鎴愮殑绾挎х┖闂寸殑缁存暟 ?绛旓細鐩磋鐞嗚В锛宯闃跺绉扮煩闃电殑涓...
绛旓細缁存暟n(n锛1)/2锛岀粰鍑哄熀锛歛ij=1,aji=锛1锛屽叾浣欏厓绱犳槸0鐨鐭╅樀鏄竴涓弽瀵圭О闃碉紝鍏朵腑1<=i<=n,n>=j>i锛岃繖鏍风殑鐭╅樀鍏眓(n锛1)/2涓紝杩欎簺鐭╅樀鏄嚎鎬ф棤鍏崇殑锛堟槗璇侊級锛屼笖姣忎竴涓弽瀵圭О闃甸兘鍙互鐢辩嚎鎬х粍鍚堢粰鍑猴紝鍥犳杩欐槸涓涓熀銆傜敱浜庡弽瀵圭О鐭╅樀婊¤冻 aij = - aji锛屼富瀵硅绾夸笂鍏冪礌鍏ㄦ槸0锛屾墍浠...
绛旓細鐭╅樀鐨勭З锛岃浣渞A锛屾垨rankA锛岀壒鍒瀹氶浂鐭╅樀鐨勭З涓洪浂銆傛樉鐒秗A鈮in(m,n)鏄撳緱锛氳嫢A涓嚦灏戞湁涓涓猺闃跺瓙寮忎笉绛変簬闆讹紝涓斿湪r<min(m,n)鏃讹紝A涓墍鏈夌殑r+1闃跺瓙寮忓叏涓洪浂锛屽垯A鐨勭З涓簉锛屼篃灏辨槸瑕佽绠楀畠鐨勫瓙寮忥紝褰撹绠楄嚦r闃跺瓙寮忎笉绛変簬闆讹紝鑰宺+1闃跺瓙寮忕瓑浜庨浂鏃讹紝鐭╅樀鐨勭淮鏁锛堢З锛夊氨涓簉銆
绛旓細鏍规嵁杩欎簺鎬ц川锛屾垜浠彲浠ヨ繘琛屼互涓嬫楠ゆ潵璁＄畻瀹炲绉扮煩闃垫瀯鎴愮殑绾挎х┖闂鐨勭淮鏁锛1.姹傝В瀹炲绉鐭╅樀鐨鐗瑰緛鍊硷細閫氳繃姹傝В鐗瑰緛鏂圭▼|A-位I|=0锛屽叾涓瑼鏄粰瀹氱殑瀹炲绉扮煩闃碉紝位鏄壒寰佸硷紝I鏄崟浣嶇煩闃点傝В杩欎釜鏂圭▼鍙互寰楀埌鎵鏈夌殑鐗瑰緛鍊笺2.瀵逛簬姣忎竴涓壒寰佸嘉伙紝姹傝В瀵瑰簲鐨勭壒寰佸悜閲忥細璁続x=位x锛屽叾涓瓁鏄壒寰佸悜閲忥紝灏...
绛旓細姣斿n闃跺绉鐭╅樀, a12 涓 a21 鐩哥瓑, 鍏惰嚜鐢卞害鏄1(骞朵笉鏄2)鎵浠闃跺绉扮煩闃垫瀯鎴愮殑绾挎х┖闂鐨勭淮鏁鏄 n (绗1琛宯涓暟)+ n-1 (绗2琛宎22,a23,...,a2n)+ ...+ 1 (绗琻琛岀殑 ann )= n(n+1)/2.瀵瑰簲鐨勫熀涓 蔚ij ( aij=1, 鍏朵綑鍏冪礌绛変簬0), i<=j, i,j=1,2,...,n ...
绛旓細1銆鐭╅樀鐨勭淮鏁鏄叾琛屽悜閲忕敓鎴愮殑鍚戦噺绌洪棿鐨勭淮鏁般2銆佹寚瀹冪殑琛屾暟涓庡垪鏁般備綘璇寸殑鐭╅樀鐨勭З锛屽叾瀹炲氨鏄1绉嶏紝鍗崇煩闃电殑缁存暟灏辨槸鐭╅樀鐨勭З銆傜煩闃电殑绉╁氨鏄煩闃典腑闈為浂瀛愬紡鐨勬渶楂橀樁鏁般傜淮鏁版槸绾挎х┖闂撮噷鐨勶紝鍦ㄧ嚎鎬х┖闂碫涓,濡傛灉瀛樺湪n涓厓绱燼1,a2,鈥︹,an,婊¤冻锛1銆乤1,a2,鈥︹,an绾挎ф棤鍏炽2銆乂涓换...
绛旓細鐭╅樀涓鑸笉璋缁存暟锛屾柟闃碉細琛屾暟=鍒楁暟=鏂归樀鐨勯樁銆備竴鑸煩闃靛彧鏈夛細琛屾暟锛屽垪鏁板拰绉┿傚綋鐒讹紝鐗规畩鎯呭喌涓嬶紝鍚у畠鐪嬫垚鍚戦噺锛岄偅灏辨槸锛堣鏁懊楀垪鏁帮級缁淬
