等比数列的例题 举几道等比数列的经典例题 xx
\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u7ecf\u5178\u4e60\u98981 \u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff5bAn\uff5d\u4e2d\uff0cS6=91 ,S2=7,\u6c42S4
2 \u5df2\u77e5\u7b49\u6bd4\u6570\u5217{an}\u524dn\u9879\u548csn\uff0cs3=3 s6=27\u5219\u6b64\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u7684\u516c\u6bd4q\u7b49\u4e8e\uff1f
3 \u5df2\u77e5{An}\u7684An=n+1/3^n\u6c42Sn
4 \u5df2\u77e5{An}\u7684An=1/n^2+3n+2\u6c42Sn
5 \u572881\u4e0e1\u4e4b\u95f4\u63d2\u5165\u4e09\u4e2a\u6570\uff0c\u4f7f\u8fd9\u4e94\u4e2a\u6570\u6210\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u4e14\u5176\u548c\u4e3a61\uff0c\u5219\u63d2\u5165\u7684\u8fd9\u4e09\u4e2a\u6570\u4e3a\u591a\u5c11\uff1f
6 \u5df2\u77e5\u7b49\u6bd4\u6570\u5217.. a1*a9=64 a3+a7=20 ... \u6c42a11...
7 \u5728\u7b49\u6bd4\u6570\u5217{an}\u4e2d\uff0c\u516c\u6bd4\u4e3aq\uff0ca1+a2+a3=18,a2+a3+a4=-9,\u5219a1\u6bd41-q\u4e3a_____.
8 \u57281/n\u4e0en+1\u4e24\u6570\u4e4b\u95f4\u63d2\u5165n\u4e2a\u6b63\u6570\uff0c\u4f7f\u8fd9n+2\u4e2a\u6570\u6210\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u6c42\u63d2\u5165\u7684n\u4e2a\u6570\u4e4b\u79ef\u3002
9 \u5df2\u77e51\uff0cx1\uff0cx2\u00b7\u00b7\u00b7\uff0cx2n\uff0c2\u6210\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u6c42\u79efx1\uff0cx2\u00b7\u00b7\u00b7x2n\u3002
[\u4f8b1] \u4e00\u4e2a\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u5171\u6709\u4e09\u9879\uff0c\u5982\u679c\u628a\u7b2c\u4e8c\u9879\u52a0\u4e0a4\u6240\u5f97\u4e09\u4e2a\u6570\u6210\u7b49\u5dee\u6570\u5217\uff0c\u5982\u679c\u518d\u628a\u8fd9\u4e2a\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u7684\u7b2c3\u9879\u52a0\u4e0a32\u6240\u5f97\u4e09\u4e2a\u6570\u6210\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u6c42\u539f\u6765\u7684\u4e09\u4e2a\u6570\u3002
设ak，al，am，an是等比数列中的第k、l、m、n项，若k+l=m+n，求证：ak*al=am*an
证明：设等比数列的首项为a1，公比为q，则：
ak=a1·q^(k-1)，al=a1·q^(l-1)，am=a1·q^(m-1)，an=a1·q^(n-1)
所以：
ak*al=a^2*q^(k+l-2)，am*an=a^2*q(m+n-2)，
故：ak*al=am*an
说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：
a(1+k)·a(n-k)=a1·an
对于等差数列，同样有：在等差数列中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：
a(1+k)+a(n-k)=a1+an 在等差数列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10=( )
A.20 B.22 C.24 D28
解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知条件得：
5a8=120，a8=24
而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。
故选C 设Sn为等差数列的前n项之和，S9=18，a（n-4）=30(n>9)，Sn=336，则n为( )
A.16 B.21 C.9 D.8
解：由于S9=9×a5=18，故a5=2，所以a5+a（n-4）=a1+an=2+30=32，而，故n=21选B 设等差数列满足3a8=5a13，且a1>0，Sn为其前n项之和，则Sn(n∈N*)中最大的是( )。 (1995年全国高中联赛第1题)
(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21
解：∵3a8=5a13
∴3(a1+7d)=5(a1+12d)
故a1=-19.5d
令an≥0→n≤20；当n>20时an<0
∴S19=S20最大，选(C)
注：也可用二次函数求最值 将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n-1)个奇数进行分组：
{1}， {3，5，7}，{9，11，13，15，17}，…
(第一组) (第二组) (第三组)
则1991位于第_____组中。
【1991年全国高中数学联赛第3题】
解：依题意，前n组中共有奇数
1+3+5+…+(2n-1)=n^2个
而1991=2×996-1，它是第996个正奇数。
∵31^2=961<996<1024=32^2
∴1991应在第31+1=32组中。
故填32 已知集合M={x,xy,lg(xy)}及N={0,∣x∣，y}
并且M=N，那么
(x+1/y)+(x^2+1/y^2)+(x^3+1/y^3)+„+(x^2001+1/y^2001)的值等于______。
解：由M=N知M中应有一元素为0，任由lg(xy)有意义知xy≠0，从而x≠0，且y≠0，故只有lg(xy)=0， xy=1，M={x,1,0}；若y=1，则x=1，M=N={0，1，1}与集合中元素互异性相连，故y≠1，从而∣x∣=1，x=±1；由x=1 y=1(含)，由x=-1 y=-1，M=N={0,1,-1}
此时，
从而
注：数列x，x2，x3，…，x2001；以及
在x=y=-1的条件下都是周期为2的循环数列，S2n-1=-2，S2n=0，故2001并不可怕。 已知数列满足3a(n+1)+an=4(n≥1)且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式∣Sn-n-6∣<1/125
的最小整数n是( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
【1994年全国高中数学联赛试题】
解： 对3a(n+1)+an=4 变形得：
3[a(n+1)-1]=-(an-1)
a(n+1)/an=-1/3
an=8*(-1/3)^(n-1)+1
Sn=8{1+(-1/3)+(-1/3)^2+……+(-1/3)^(n-1)]+n
=6-6*(-1/3)^n+n
|Sn-n-6|=|-6*(-1/3)^n|<1/125
当n=7时满足要求，故选C
【注】：数列既不是等差数列，也不是等比数列，而是由两个项数相等的等差数列：1，1，…，1和等比数列：8,-24,72,-216,… 的对应项的和构成的数列，故其前n项和Sn可转化为相应的两个已知数列的和，这里，观察通项结构，利用化归思想把未知转化为已知。 设数列的前n项和Sn=2an-1(n=1,2,…)，数列满足b1=3,b(k+1)=ak+bk(k=1,2,…)，求数列{bn}的前n项和。 【1996年全国高中数学联赛第二试第一题】
解：由Sn=2an-1，令n=1，得S1=a1=2a1-1，∴a1=1 ①
又Sn=2an-1 ②
S（n-1）=2（an-1）-1 ③
②-③得：Sn-S（n-1）=2an-2a（n-1）
∴an=2an-2a（n-1）
故an=2a(n-1)
∴数列是以a1=1为首项，以q=2为公比的等比数列，故an=2^(n-1) ④
由⑤ b(k+1)=ak+bk(k=1,2,…)，
∴以上诸式相加，得{bn-2}={an},
∴{bn}=2^(n-1)+2
∴Sbn=2^n-1+2*n
设ak，al，am，an是等比数列中的第k、l、m、n项，若k+l=m+n，求证：ak*al=am*an
证明：设等比数列的首项为a1，公比为q，则：
ak=a1·q^(k-1)，al=a1·q^(l-1)，am=a1·q^(m-1)，an=a1·q^(n-1)
所以：
ak*al=a^2*q^(k+l-2)，am*an=a^2*q(m+n-2)，
故：ak*al=am*an
说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：
a(1+k)·a(n-k)=a1·an
对于等差数列，同样有：在等差数列中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：
a(1+k)+a(n-k)=a1+an
在等差数列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10=(
)
A.20
B.22
C.24
D28
解：由a4+a12=2a8，a6+a10
=2a8及已知条件得：
5a8=120，a8=24
而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。
故选C
设Sn为等差数列的前n项之和，S9=18，a（n-4）=30(n>9)，Sn=336，则n为(
)
A.16
B.21
C.9
D.8
解：由于S9=9×a5=18，故a5=2，所以a5+a（n-4）=a1+an=2+30=32，而，故n=21选B
设等差数列满足3a8=5a13，且a1>0，Sn为其前n项之和，则Sn(n∈N*)中最大的是(
)。
(1995年全国高中联赛第1题)
(A)S10
(B)S11
(C)S20
(D)S21
解：∵3a8=5a13
∴3(a1+7d)=5(a1+12d)
故a1=-19.5d
令an≥0→n≤20；当n>20时an<0
∴S19=S20最大，选(C)
注：也可用二次函数求最值
将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n-1)个奇数进行分组：
{1}，
{3，5，7}，{9，11，13，15，17}，…
(第一组)
(第二组)
(第三组)
则1991位于第_____组中。
【1991年全国高中数学联赛第3题】
解：依题意，前n组中共有奇数
1+3+5+…+(2n-1)=n^2个
而1991=2×996-1，它是第996个正奇数。
∵31^2=961<996<1024=32^2
∴1991应在第31+1=32组中。
故填32
已知集合M={x,xy,lg(xy)}及N={0,∣x∣，y}
并且M=N，那么
(x+1/y)+(x^2+1/y^2)+(x^3+1/y^3)+„+(x^2001+1/y^2001)的值等于______。
解：由M=N知M中应有一元素为0，任由lg(xy)有意义知xy≠0，从而x≠0，且y≠0，故只有lg(xy)=0，
xy=1，M={x,1,0}；若y=1，则x=1，M=N={0，1，1}与集合中元素互异性相连，故y≠1，从而∣x∣=1，x=±1；由x=1
y=1(含)，由x=-1
y=-1，M=N={0,1,-1}
此时，
从而
注：数列x，x2，x3，…，x2001；以及
在x=y=-1的条件下都是周期为2的循环数列，S2n-1=-2，S2n=0，故2001并不可怕。
已知数列满足3a(n+1)+an=4(n≥1)且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式∣Sn-n-6∣<1/125
的最小整数n是(
)
(A)5
(B)6
(C)7
(D)8
【1994年全国高中数学联赛试题】
解：
对3a(n+1)+an=4
变形得：
3[a(n+1)-1]=-(an-1)
a(n+1)/an=-1/3
an=8*(-1/3)^(n-1)+1
Sn=8{1+(-1/3)+(-1/3)^2+……+(-1/3)^(n-1)]+n
=6-6*(-1/3)^n+n
|Sn-n-6|=|-6*(-1/3)^n|<1/125
当n=7时满足要求，故选C
【注】：数列既不是等差数列，也不是等比数列，而是由两个项数相等的等差数列：1，1，…，1和等比数列：8,-24,72,-216,…
的对应项的和构成的数列，故其前n项和Sn可转化为相应的两个已知数列的和，这里，观察通项结构，利用化归思想把未知转化为已知。
设数列的前n项和Sn=2an-1(n=1,2,…)，数列满足b1=3,b(k+1)=ak+bk(k=1,2,…)，求数列{bn}的前n项和。
【1996年全国高中数学联赛第二试第一题】
解：由Sn=2an-1，令n=1，得S1=a1=2a1-1，∴a1=1
①
又Sn=2an-1
②
S（n-1）=2（an-1）-1
③
②-③得：Sn-S（n-1）=2an-2a（n-1）
∴an=2an-2a（n-1）
故an=2a(n-1)
∴数列是以a1=1为首项，以q=2为公比的等比数列，故an=2^(n-1)
④
由⑤
b(k+1)=ak+bk(k=1,2,…)，
∴以上诸式相加，得{bn-2}={an},
∴{bn}=2^(n-1)+2
∴Sbn=2^n-1+2*n
绛旓細銆愪緥1銆戞眰1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024鐨勫拰銆傞氳繃瑙傚療锛屼細鍙戠幇杩欎釜鏁板垪鐨鍚庝竴椤规瘮涓婂墠涓椤归兘鏄2銆2梅1=2锛4梅2=2锛8梅4=2锛涒︹1024梅512=2銆傛墍浠ヨ繖涓鐩氨鏄吀鍨嬬殑绛夋瘮鏁板垪姹傚拰棰橈紝鍏瘮鏄2銆備緥1涓紝濡傛灉鎷跨瑪纭畻浼氬崄鍒嗛夯鐑︼紝鑰屼笖瀹规槗鍑洪敊銆傚湪杩欓噷G鑰佸笀鍒嗕韩涓涓绠楃瓑姣旀暟鍒楁眰...
绛旓細a₇=a1*q⁶=2/3*3⁶=2*3⁵=2*243=486 绛旓細an鐨勯氶」鍏紡涓篴n=2脳3⁽ⁿ⁻²⁾锛岀涓冮」a₇=486銆2銆佽В锛氬亣璁-125鏄绛夋瘮鏁板垪{an}鐨勭X椤癸紝鍒 鈭礱n=a₁路q⁽ⁿ⁻¹⁾鈭碼₂=a...
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绛旓細绗簩涓瓑寮忛櫎浠ヤ笂绗竴涓瓑寮忓彲浠ヨ交鏄撶畻鍑哄叕姣攓锛屽皢q浠ｅ叆鍒颁换鎰忎竴涓紡瀛愪腑灏卞彲寰楀埌棣栭」a1銆
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绛旓細a<n+1> = 5S<n> + 1 = 5a1(q^n-1)/(q-1) + 1 (1)a<n> = 5S<n-1> + 1 = 5a1[q^(n-1)-1]/(q-1) + 1 (2)涓ゅ紡鐩搁櫎 (1)/(2) 寰 q = [5a1(q^n-1)/(q-1) + 1] / {5a1[q^(n-1)-1]/(q-1) + 1} = [5a1(q^n-1) + q-1] / {...
